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第三章 双绞铜环：磁通抵消与驻波比

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第三章 双绞铜环：磁通抵消与驻波比

周长一肘尺的铜环，常用两股导线绞合而成。这一章给出作者的标准做法，计算使成品环周长恰为一肘尺的下料长度，说明这种环在什么条件下抵消自身磁场、什么条件下不会，并把样书中的测量方案升级为 1.0 版。

标准做法

证据

sacredcubit.com 与 tensorcoil.com 工坊制作的铜环遵循同一规格。

  • 线材：退火的 99.9% 电解紫铜（C11000），常用两种线径：1.6 毫米（接近 14 AWG）与 2.0 毫米（接近 12 AWG）。
  • 成形：一根导线对折，使两股并排，再以固定节距绞合，即每肘尺固定的绞数。两种绞向（顺时针与逆时针）都有制作。
  • 长度：下料长度的选取，要使绞合后成品环的平均周长为 523.5 毫米。绞合会使线对变短，所以下料长度要按「绞合收缩率」校正。
  • 闭合：绞合线对的两端用无铅含银焊料焊接，闭合成环。

绞合收缩率

两根直径为 dd、互相接触的导线绞在一起时，每根导线的中心沿着一条绕线对轴线、半径为 d/2d/2 的螺旋线走。沿轴线走过一个节距 pp（绞一整圈的轴向长度）时，每根导线实际走过 ℓ=p2+(πd)2,\ell = \sqrt{p^2 + (\pi d)^2}, 比 pp 长。绞合收缩率是两者之比 k=pp2+(πd)2,k = \frac{p}{\sqrt{p^2 + (\pi d)^2}}, 要覆盖轴向长度 CC 的一股导线，下料长度应为 C/kC/k。

推导

两种标准线径、三种节距（每掌一绞、每掌两绞、每指一绞）：

import math

C = 523.5                         # 成品环沿线对轴线的目标周长，mm
for d in (1.6, 2.0):              # 线径，mm（14 AWG、12 AWG）
    for n in (7, 14, 28):         # 每肘尺绞数（每掌一绞、每掌两绞、每指一绞）
        p = C / n                 # 节距，mm
        k = p / math.hypot(p, math.pi * d)   # 绞合收缩率
        print(f"d = {d} mm, {n:2d} twists: pitch {p:5.1f} mm, k = {k:.4f}, "
              f"strand cut length {C / k:6.1f} mm")
# d = 1.6 mm,  7 twists: pitch  74.8 mm, k = 0.9977, strand cut length  524.7 mm
# d = 1.6 mm, 14 twists: pitch  37.4 mm, k = 0.9911, strand cut length  528.2 mm
# d = 1.6 mm, 28 twists: pitch  18.7 mm, k = 0.9657, strand cut length  542.1 mm
# d = 2.0 mm,  7 twists: pitch  74.8 mm, k = 0.9965, strand cut length  525.3 mm
# d = 2.0 mm, 14 twists: pitch  37.4 mm, k = 0.9862, strand cut length  530.8 mm
# d = 2.0 mm, 28 twists: pitch  18.7 mm, k = 0.9479, strand cut length  552.3 mm

对折导线的每一股，按表中长度下料，再加上对折处和焊点所需的余量；导线总长是它的两倍。每掌一绞时，校正量约一毫米；2 毫米线每指一绞时，校正量将近 29 毫米——不作校正的环会短 5% 以上。

注

绞向（顺时针或逆时针，即 S 绞或 Z 绞）不改变收缩率：两种绞向的螺旋线一样长。在本书讨论的频率上，绞向也不改变环的行为。螺旋线只有在尺寸与波长相当时，才会对左旋、右旋两种圆极化有不同的响应；这里的螺旋半径不到一毫米，而波长是几十厘米甚至更长。

两股线，反向电流

证据

两根导体靠得很近、通以大小相等方向相反的电流时，在这对导线之外，各自的磁场大部分被对方抵消。工程上有两种常见用法。双线并绕（无感绕法）把导线对折后再绕，使线圈几乎没有净磁场，精密线绕电阻就是这样做的。双绞线在每半个绞距处交换两根导体的位置，使一个半绞距里拾取的干扰在下一个半绞距里被抵消；贝尔在 1881 年为电话线申请了这一专利 (Bell 1881)。两者依据的是同一个物理：电流环的远处磁场由它的磁偶极矩决定，也就是电流乘以它所围的面积 (Grover 1946)。

推导

对用 1.6 毫米导线做成、周长一肘尺的环，比较单圈环，以及中心距 2 毫米、电流方向相反的两股线：

import math

mu0 = 4e-7 * math.pi
ell = 0.5235                 # 绕环一周的导线长度 = 一肘尺，m
R = ell / (2 * math.pi)      # 环的半径，m
a = 0.8e-3                   # 导线半径，m（1.6 毫米铜线）
s = 2.0e-3                   # 两股线中心距，m

# 单圈：圆形导线环的电感
L_loop = mu0 * R * (math.log(8 * R / a) - 2)
# 反向电流的两股线：长度为 ell 的双线传输线
L_pair = mu0 / math.pi * math.acosh(s / (2 * a)) * ell
# 远场强度取决于磁偶极矩 m = 电流 × 面积
ratio = (ell * s) / (math.pi * R ** 2)
print(f"ring radius {R*1000:.1f} mm")
print(f"single loop:  L = {L_loop*1e6:.3f} uH, moment per amp = {math.pi*R**2*1e4:.1f} cm^2")
print(f"opposed pair: L = {L_pair*1e6:.3f} uH, moment per amp = {ell*s*1e4:.1f} cm^2")
print(f"far field of the pair relative to the loop: {ratio:.3f} ({20*math.log10(ratio):.1f} dB)")
# ring radius 83.3 mm
# single loop:  L = 0.495 uH, moment per amp = 218.1 cm^2
# opposed pair: L = 0.145 uH, moment per amp = 10.5 cm^2
# far field of the pair relative to the loop: 0.048 (-26.4 dB)

反向线对的磁矩只来自两股线之间那条窄带，约为单圈的 5%，所以它的远场弱约 26 dB。把线对绞起来，剩下的大部分也会被抵消，因为每半个绞距都使那条窄带的符号反转一次。

闭合的环什么时候真的抵消？

这是本章最重要的一点。它取决的不是环的长度，而是环的两端怎样连接。绞合环可以用两种方式载流：

  • 共模：两股线中的电流沿环同向流动。这时线对就像一根粗导线，环表现为一个具有完整磁矩的普通线圈。
  • 差模：两股线中的电流反向流动。磁场抵消的正是这种模式。

一个环能支持哪种模式，由它构造上的三件事决定。

假说 · 尚未验证

1. 两股线之间是否绝缘？ 裸铜线互相接触时，沿着绞合有许多接触点，两股线在电气上相连。它们于是成为一根多股导线：几乎不存在差模，只有共模。要有反向电流，需要漆包线（电磁线）或股间的其他绝缘层。闭合之前，用万用表电阻档量一下两个自由端之间，就能立刻知道两股线是否在电气上接触。

2. 焊点连接了哪里？ 如果闭合时把对折端和两个自由端焊在同一个焊点上，每一股都从这个焊点出发、回到这个焊点。两股线就成为围着同一面积的两个并联线圈；穿过环的磁场在两股中感应出同向电流，环的响应和单圈环一样。

3. 有没有绝缘间隙？ 如果两个自由端彼此焊在一起，但与对折端保持绝缘（例如在两端相接处套一段绝缘套管），唯一的闭合路径是沿一股绕环一周、再沿另一股绕回来。穿过环的磁场感应出的电流，在两股中必须反向流动，感应电压互相抵消：这个环对外部磁场是无感的。

所以，用裸 C11000 铜线绞成、用一个焊点闭合的环，对外部磁场的表现就是一个粗导线的普通单圈环。上面计算的反向电流抵消，描述的是差模，而这种环不能承载差模。用绝缘导线、留有绝缘间隙的环，才是真正的无感（双线）环。下面的测量方案同时检验这两种情况。

用驻波比测量

要看清一肘尺的环或棒在电学上做了什么，最干净的办法是测量它如何反射或耦合射频能量。这是业余无线电爱好者调天线的日常工作，所用的仪器——矢量网络分析仪（VNA）——如今已经很便宜（第五章）。

证据

信号沿特性阻抗为 Z0Z_0（通常 50 Ω）的电缆传输，遇到阻抗为 ZLZ_L 的负载时，一部分被反射。反射系数为 Γ=(ZL−Z0)/(ZL+Z0)\Gamma = (Z_L – Z_0)/(Z_L + Z_0)。反射波与前进波在电缆上叠加成驻波，其最大值与最小值之比就是驻波比 SWR=(1+|Γ|)/(1−|Γ|)\text{SWR} = (1 + |\Gamma|)/(1 – |\Gamma|)；回波损耗为 −20log⁡10|Γ|-20\log_{10}|\Gamma| dB (Balanis 2016)。与电缆匹配的负载不反射，SWR 为 1。理想的四分之一波长单极天线在共振时电阻约 36.5 Ω。

推导

import math

def swr(z_load, z0=50.0):
    gamma = abs((z_load - z0) / (z_load + z0))
    return (1 + gamma) / (1 - gamma), -20 * math.log10(gamma) if gamma else float("inf")

for z in (36.5, 50, 75, 25 + 30j):
    s, rl = swr(z)
    print(f"Z = {z!s:>9} ohm: SWR {s:4.2f}, return loss {rl:5.1f} dB")
# Z =      36.5 ohm: SWR 1.37, return loss  16.1 dB
# Z =        50 ohm: SWR 1.00, return loss   inf dB
# Z =        75 ohm: SWR 1.50, return loss  14.0 dB
# Z =  (25+30j) ohm: SWR 2.87, return loss   6.3 dB

所以，在良好地面上、由 50 Ω 分析仪直接馈电的一肘尺单极天线，应在约 136 MHz 附近出现约 1.4 的 SWR 最小值。

测量方案 1.0

假说 · 尚未验证

测什么。 五个物件，都以一皇家肘尺（523.5 毫米）为工作长度：

  1. 一根 1.6 毫米直导线，垂直装在 50 × 50 厘米的铝板地面上（作为参照的四分之一波长单极天线）；
  2. 一个周长 523.5 毫米、用 1.6 毫米裸线做的单圈闭合环；
  3. 一个标准双绞环：1.6 毫米裸 C11000 铜线，每肘尺七绞，用一个焊点闭合；
  4. 与 3 相同，但每肘尺十四绞、绞向相反；
  5. 一个用 1.6 毫米漆包铜线绞成的环，对折端与相连的自由端之间留绝缘间隙（真正的双线环）。

怎么测。 用校准过的 NanoVNA 扫描 1–900 MHz（第五章）。物件 1 由分析仪对着地面馈电，记录 S11。物件 2 至 5，在环的两侧、离环 20 毫米处各放一个直径 20 毫米的单圈探测小环，记录两者之间的传输（S21），有环与无环各测一次。每项测量重复三次，每次把物件取下再放回，并记录室温。

测量前写下的预测。

  • 物件 1：SWR 最小值落在 130 到 143 MHz 之间，最小 SWR 低于 2。
  • 物件 2、3、4：低频时，对探测环耦合的改变彼此接近；周长接近一个波长时出现第一个环共振，因线粗而低于理想的 572.7 MHz；3 和 4 又比 2 低一些，因为绞合的导线比环长。3 与 4 之间，除了导线长度不同所能解释的差别之外没有差别；尤其是，绞向没有影响。
  • 物件 5：低频时，对探测环耦合的改变比物件 2 至 4 小至少 20 dB，因为感应电流互相抵消。

发表。 原始扫描文件（Touchstone .s1p/.s2p）、校准文件、照片和分析代码，将作为本书的新版本发表并获得自己的 DOI，不论预测是否成立。

注

关于健康声明。 一肘尺长的铜环有时附带这样的说法出售：能调和能量、净化水、缓解疼痛或改善睡眠。这些说法都没有可靠证据。本章的测量只能显示一个环在测试装置里对射频信号有什么作用，不能说明、本书也不主张它对身体有任何作用。

小结

  • 标准铜环用退火 99.9% C11000 紫铜，线径 1.6 或 2.0 毫米，对折、固定节距绞合、用无铅含银焊料闭合。
  • 绞合使线对按系数 k=p/p2+(πd)2k = p/\sqrt{p^2 + (\pi d)^2} 缩短；每股按 523.5/k523.5/k 毫米加余量下料，从每掌一绞的约 525 毫米，到 2 毫米线每指一绞的 550 毫米以上。
  • 反向电流使远场减弱 20 dB 以上；但闭合的环只有在股间绝缘、焊点留有绝缘间隙时才能承载反向电流。用一个焊点闭合的裸线环，表现为单圈环。
  • 测量方案 1.0 比较五个物件，事先写下预测；结果不论如何都会发表。

参考文献

Balanis, Constantine A. 2016. Antenna Theory: Analysis and Design. 4th ed. Wiley.
Bell, Alexander Graham. 1881. Telephone-Circuit. US Patent 244,426.
Grover, Frederick W. 1946. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. Van Nostrand.

Fan, Y. (2026). The Sacred Cubit and Resonant Geometry: Measuring the Egyptian Royal Cubit, the Quarter Wave and the Bifilar Ring [神圣肘尺与谐振几何] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23666560 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).