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第四章 多环正交几何：球面八面体与场的叠加

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第四章 多环正交几何：球面八面体与场的叠加

一个环有一个平面和一条轴。三个互相垂直的环，像浑天仪的环圈那样摆放，就没有任何偏好的方向。这一章描述这种排列的几何，计算三个环的磁场如何相加，并说明为什么互相垂直的环彼此不干扰——工程师在三轴线圈和天线中依靠的正是这个事实。

三个大圆

三个周长一肘尺、互相垂直的环。每个环所在的平面都过中心；箭头是各环的法线。六个圆点是环的交点，也是一个八面体的顶点。

三个同样大小、共一个中心、两两垂直的环，作为三个大圆落在同一个球面上。它们交于六点——三条轴的两端——这六点正是一个正八面体的顶点。三个环把球面分成八个相等的球面三角形，每个三角形的三个角都是直角：这就是球面八面体。

推导

对周长一肘尺的环：

import math

C = 523.5e-3                      # 每个环的周长，m
R = C / (2 * math.pi)             # 环所在球面的半径
mu0 = 4e-7 * math.pi
print(f"sphere radius {R*1000:.1f} mm, diameter {2*R*1000:.1f} mm")
print(f"12 arcs of 90 degrees, each {C/4*1000:.1f} mm; total wire {3*C*1000:.1f} mm")
print(f"8 spherical triangles, each {4*math.pi*R**2/8*1e4:.1f} cm^2")

I = 1.0                           # 安培
B1 = mu0 * I / (2 * R)            # 一个环在中心处的磁场
print(f"one ring, 1 A:    B = {B1*1e6:.2f} uT at the centre")
print(f"three in phase:   B = {math.sqrt(3)*B1*1e6:.2f} uT, along the (1,1,1) diagonal")
for z_mm in (0, 40, 83.3, 166.6):  # 沿一个环的轴线
    z = z_mm / 1000
    Bz = mu0 * I * R**2 / (2 * (R**2 + z**2) ** 1.5)
    print(f"  on axis, z = {z_mm:5.1f} mm: B = {Bz*1e6:.2f} uT")
# sphere radius 83.3 mm, diameter 166.6 mm
# 12 arcs of 90 degrees, each 130.9 mm; total wire 1570.5 mm
# 8 spherical triangles, each 109.0 cm^2
# one ring, 1 A:    B = 7.54 uT at the centre
# three in phase:   B = 13.06 uT, along the (1,1,1) diagonal
#   on axis, z =   0.0 mm: B = 7.54 uT
#   on axis, z =  40.0 mm: B = 5.52 uT
#   on axis, z =  83.3 mm: B = 2.67 uT
#   on axis, z = 166.6 mm: B = 0.67 uT

这个球直径 166.6 毫米。两个交点之间的每段弧是四分之一肘尺，即七指长（130.9 毫米）。作为比较，地磁场是几十微特斯拉，所以一安培电流在一肘尺环中心产生的磁场约为地磁场的五分之一，而且随距离急剧减弱。

场按矢量相加

磁场遵守叠加原理：几个电流的磁场，是各电流单独产生的磁场的矢量和 (Grover 1946)。对三个正交的环，这有几个简单的推论。

  • 三个环通以同相等大电流，在中心产生的磁场是单个环的 3\sqrt{3} 倍，指向三条轴之间的对角线方向。这个组合等效于一个面向该对角线、更大的倾斜单环。并没有出现新东西；磁场只是指向了一个新方向。
  • 两个环通以正交（相差四分之一周期）的等大电流，产生一个大小不变、旋转的磁场，每个周期转一圈。电动机里的旋转磁场就是这样产生的，一对交叉天线也是这样产生圆极化 (Balanis 2016)。
  • 没有电流，就没有磁场。 没有接任何电源的无源环，只有在变化的外部磁场感应出电流时才有电流。这些环并不产生、储存或聚集任何属于它们自己的场。

互相垂直的环不耦合

推导

两个回路之间的互感 MM 衡量一个回路的磁通有多少穿过另一个，由诺伊曼公式给出： M=μ04π∮∮d𝒍1⋅d𝒍2|𝒓1−𝒓2|。M = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint\!\!\oint \frac{d\mathbf{l}_1 \cdot d\mathbf{l}_2}{|\mathbf{r}_1 – \mathbf{r}_2|}。 对两个同心环作数值计算（其中一个大 2%，使导线不相碰）：

import numpy as np

mu0 = 4e-7 * np.pi
C = 0.5235                        # 每个环的周长，m
R = C / (2 * np.pi)

def ring(normal, radius, n=720):
    """以原点为中心的圆环：各点坐标与线元矢量。"""
    normal = np.asarray(normal, float) / np.linalg.norm(normal)
    a = np.cross(normal, [1, 0, 0] if abs(normal[0]) < 0.9 else [0, 1, 0])
    a /= np.linalg.norm(a)
    b = np.cross(normal, a)
    t = np.linspace(0, 2 * np.pi, n, endpoint=False)
    pts = radius * (np.outer(np.cos(t), a) + np.outer(np.sin(t), b))
    return pts, np.roll(pts, -1, axis=0) - pts

def mutual(r1, r2):
    """诺伊曼公式：M = mu0/4pi * sum(dl1 . dl2 / |r1 - r2|)。"""
    (p1, d1), (p2, d2) = r1, r2
    dist = np.linalg.norm(p1[:, None, :] - p2[None, :, :], axis=2)
    return mu0 / (4 * np.pi) * np.sum((d1 @ d2.T) / dist)

x = ring([1, 0, 0], R)
y_orth = ring([0, 1, 0], R * 1.02)       # 大 2%，使导线不相碰
x_par = ring([1, 0, 0], R * 1.02)        # 同一平面，作比较
print(f"coplanar rings:   M = {mutual(x, x_par)*1e9:8.2f} nH")
print(f"orthogonal rings: M = {mutual(x, y_orth)*1e9:8.2f} nH")

# 各向同性：每个环中的感应电动势，正比于磁场沿其法线的分量
rng = np.random.default_rng(1)
for _ in range(3):
    u = rng.normal(size=3); u /= np.linalg.norm(u)
    single = abs(u[0])                  # 法线沿 x 的单个环
    triad = np.sqrt(np.sum(u ** 2))     # 三个环，按平方和合成
    print(f"field direction {np.round(u, 2)}: one ring {single:.2f}, three rings {triad:.2f}")
# coplanar rings:   M =   423.15 nH
# orthogonal rings: M =     0.00 nH
# field direction [0.36 0.86 0.35]: one ring 0.36, three rings 1.00
# field direction [-0.79  0.55  0.27]: one ring 0.79, three rings 1.00
# field direction [-0.62  0.67  0.42]: one ring 0.62, three rings 1.00

同一平面内的两个同心环耦合很紧（423 nH）。把其中一个转过一个直角，耦合就消失了：由于对称，一个环穿过另一个环一半的每一份磁通，都被穿过另一半的磁通抵消。所以三个两两正交的环，是共用一个中心的三个独立回路。

程序的第二部分说明三个环合在一起得到了什么。一个环只对磁场沿自身轴线的分量有响应；平行于环面的磁场感应不出任何东西，所以单个环有「盲区」方向。三个正交的环，把响应按平方和合成，对来自任何方向的磁场都有相同的响应。三轴感应线圈磁强计和三维线圈天线依据的就是这个原理。

一个实际的麻烦：交点

注

上面的计算假设三个环在交叉处彼此绝缘。如果裸线环在六个交点处接触或焊在一起，它们就成为一个由十二段弧组成的电气网络，而不再是三个独立的环。电流可以经由交点走捷径，环不再独立，零互感也不再适用于这个网络所有可能的载流方式。想要三个独立环的制作者，应保持交点绝缘，例如套一小段套管或用不导电的框架；把交点焊起来的制作者，做的是另一件东西，必须按它自身来测量。

测量方案 1.0（续）

假说 · 尚未验证

作者认为，由三个肘尺环组成的球面八面体值得测量，正因为它的电学行为可以事先预测。在第三章的方案之外，再加两个物件：

  1. 三个 1.6 毫米裸线、周长一肘尺的单圈环，用不导电框架固定成两两垂直，交点绝缘；
  2. 同样的三个环，六个交点全部焊接。

测量前写下的预测。

  • 物件 6：探测环依次对准每一条轴时，三条轴的耦合变化相同，差别在 1 dB 以内；任意两个环之间的耦合（用一个探测环激励一个环、感测另一个环），比同样间距的两个共面环弱至少 20 dB。
  • 物件 7：环与环之间的耦合不再微弱，并在单环共振频率以下出现新的共振，对应网络中较短回路上的电流路径。

小结

  • 三个一肘尺的正交环位于一个直径 166.6 毫米的球面上，交于八面体的六个顶点，把球面分成八个直角三角形。
  • 它们的场按矢量相加：同相时相当于一个倾斜的单环；正交时产生旋转磁场。没有电流就没有磁场。
  • 互相垂直的环互感为零；合在一起，对来自任何方向的磁场响应相同。
  • 焊接交点会把三个环变成一个行为不同的网络；测量方案同时检验两者。

参考文献

Balanis, Constantine A. 2016. Antenna Theory: Analysis and Design. 4th ed. Wiley.
Grover, Frederick W. 1946. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. Van Nostrand.

Fan, Y. (2026). The Sacred Cubit and Resonant Geometry: Measuring the Egyptian Royal Cubit, the Quarter Wave and the Bifilar Ring [神圣肘尺与谐振几何] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23666560 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).