波长、频率与速度

频率为 $f$、速度为 $c$ 的波，每隔 $$\lambda = \frac{c}{f}$$ 重复一次。声音和无线电都用这个公式，变的只是速度。20 °C 空气中的声速约 $343\ \text{m/s}$；无线电波在真空中以光速 $299\,792\,458\ \text{m/s}$ 传播，快了将近一百万倍。所以同一个长度，既能装下几百赫兹的声音，也能装下几百兆赫的无线电波。

两种「装得下」

一肘尺装得下什么

c_light = 299_792_458        # m/s
c_air = 343.0                # m/s，20 °C
L = 0.5235                   # 一皇家肘尺，m

print("Sound in air:")
print(f"  pipe closed at one end (L = λ/4): {c_air / (4 * L):7.1f} Hz")
print(f"  pipe open at both ends (L = λ/2): {c_air / (2 * L):7.1f} Hz")
print("Radio waves:")
print(f"  free-space wavelength = L:        {c_light / L / 1e6:7.1f} MHz")
print(f"  ideal quarter-wave monopole:      {c_light / (4 * L) / 1e6:7.1f} MHz")
print(f"  ... with a typical 0.95 factor:   {0.95 * c_light / (4 * L) / 1e6:7.1f} MHz")
# Sound in air:
#   pipe closed at one end (L = λ/4):   163.8 Hz
#   pipe open at both ends (L = λ/2):   327.6 Hz
# Radio waves:
#   free-space wavelength = L:          572.7 MHz
#   ideal quarter-wave monopole:        143.2 MHz
#   ... with a typical 0.95 factor:     136.0 MHz

其中三个数字值得说明。

163.8 Hz 与 327.6 Hz。 一端封闭、长一肘尺的管子，发音接近中央 C 下方的 E（E3，164.8 Hz）；两端开口时，接近其上一个八度的 E（E4，329.6 Hz）。未作任何修正时，两者都比十二平均律低约 11 音分。实际上，开口端外面的空气也随波运动，使管子表现得像稍长了一点；这个「端口修正」取决于管子的粗细，会让频率再低一些 (Kinsler et al. 2000)。用音乐的话说，一肘尺长的管子是一个 E。

143.2 MHz。 立在地面上、长一肘尺的导线，是 143.2 MHz 的理想四分之一波长天线，刚好低于 2 米业余无线电频段（多数国家为 144–148 MHz）。真实的导线有粗细，共振比理想值低几个百分点；乘上约 0.95 的典型系数，约为 136 MHz。

0.95。 这个系数不是肘尺的性质，它来自导线粗细与长度之比，以及导线端部的效应。粗的棒共振更低；细的导线更接近理想值。这就是为什么任何真实物体的共振都必须测量，而不能只靠计算（第三章）。

小结

• 波长、频率与速度由 $\lambda = c/f$ 联系起来；同一个长度，能装下几百赫兹的声音和几百兆赫的无线电波。
• 一肘尺长的管子，一端封闭时共振在约 164 Hz，两端开口时约 328 Hz，接近 E3 与 E4。
• 立在地面上的一肘尺导线，是 143.2 MHz 的理想四分之一波长天线，实际约 136 MHz。
• 任何长度都有共振；计算给出了肘尺的数值，但并不使它们特殊。