一买一卖

拍卖中通常只有一方有私人信息：卖方知道自己的保留价，或者根本不在乎。很多谈判却是双边的：一位买方、一位卖方，买方心里有一个最高愿付价 $v$，卖方心里有一个最低接受价（成本）$c$，彼此都不知道对方的数字。只要 $v > c$，成交就能创造 $v – c$ 的价值；问题是，双方都有夸大的动机：买方说自己没那么想要，卖方说自己成本很高。

有没有一种规则——不管它多巧妙——能保证只要 $v > c$ 就一定成交？

这个定理常被误读为「谈判注定失败」。它说的不是这个。它说的是：只要双方都有私人信息，又没有外人补贴，任何规则都必然会在某些本该成交的时候放弃成交。 这种效率损失不是谈判技巧不足造成的，而是信息结构本身决定的；技巧和规则能做的，只是让损失尽量小。还要注意重叠条件：如果已知买方的估值一定高于卖方的成本，一个固定价格就能解决问题。

推导：虚拟剩余

定理的证明有一个可以计算的核心。用激励相容与个人理性的约束，可以把任何满足条件 1 与 2 的机制中「买方付的钱减去卖方收的钱」的期望写成一个只依赖成交规则的式子。对均匀分布，这个式子是

$$\mathbb{E}\big[\,\big((2v – 1) – 2c\big)\cdot \mathbf{1}\{\text{成交}\}\big],$$

其中 $2v – 1$ 是买方的「虚拟估值」，$2c$ 是卖方的「虚拟成本」。它们比真实的估值与成本更「悲观」，因为机制必须给拥有私人信息的人留下一笔信息租金，才能让他们说真话。预算平衡要求这个期望不小于零。

# Bilateral trade, v and c independent uniform on [0, 1]; d = v - c has density 1 - d on
# [0, 1]. For the rule "trade iff d >= t": gains = int_t^1 d(1-d), and expected virtual
# surplus = int_t^1 (2d - 1)(1 - d), which must be >= 0 for a BIC, interim IR, budget-
# balanced mechanism (Myerson-Satterthwaite). Then check the Chatterjee-Samuelson
# linear equilibrium: ask 2c/3 + 1/4, bid 2v/3 + 1/12, price = average when bid >= ask.
def integrals(t, steps=200000):
    h = (1 - t) / steps
    ds = [t + (k + 0.5) * h for k in range(steps)]
    return sum(d * (1 - d) for d in ds) * h, sum((2 * d - 1) * (1 - d) for d in ds) * h

s0, vs0 = integrals(0.0)
print(f"trade iff v > c: gains {s0:.5f} (1/6), virtual surplus {vs0:+.5f}: infeasible")
lo, hi = 0.0, 0.5
for _ in range(40):
    mid = (lo + hi) / 2
    lo, hi = (mid, hi) if integrals(mid, 20000)[1] < 0 else (lo, mid)
s1 = integrals(hi)[0]
print(f"smallest feasible t = {hi:.5f}; gains {s1:.6f} (9/64 = {9 / 64:.6f}),"
      f" {s1 / s0:.3%} of first-best")
pts = [(i + 0.5) / 1000 for i in range(1000)]
ask, bid = (lambda c: 2 * c / 3 + 0.25), (lambda v: 2 * v / 3 + 1 / 12)
offers = [k / 500 for k in range(501)]
def by(v):                      # buyer's best bid against the seller's linear ask
    return max(offers, key=lambda b: sum(v - (b + ask(c)) / 2
                                         for c in pts if b >= ask(c)))
def se(c):                      # seller's best ask against the buyer's linear bid
    return max(offers, key=lambda a: sum((a + bid(v)) / 2 - c
                                         for v in pts if bid(v) >= a))
print("best replies (formula): buyer " +
      " ".join(f"v={v}: {by(v):.3f} ({bid(v):.3f})" for v in (.4, .7, 1)))
print("                       seller " +
      " ".join(f"c={c}: {se(c):.3f} ({ask(c):.3f})" for c in (0, .3, .6)))
# trade iff v > c: gains 0.16667 (1/6), virtual surplus -0.16667: infeasible
# smallest feasible t = 0.25000; gains 0.140625 (9/64 = 0.140625), 84.375% of first-best
# best replies (formula): buyer v=0.4: 0.350 (0.350) v=0.7: 0.550 (0.550) v=1: 0.750 (0.750)
#                        seller c=0: 0.250 (0.250) c=0.3: 0.450 (0.450) c=0.6: 0.650 (0.650)

（a） 有效成交的期望收益是 0.16667，即 $1/6$；但期望虚拟剩余是 $-1/6$，为负，说明没有任何满足其余三个条件的机制能做到「只要 $v > c$ 就成交」。

（b） 能使虚拟剩余恰好为零的最小门槛是 $t = 1/4$。手算可以验证：$\int_{1/4}^1 (2d-1)(1-d)\,\mathrm{d}d = \big[\tfrac{3}{2}d^2 – d – \tfrac{2}{3}d^3\big]_{1/4}^1 = -\tfrac16 – \big(\tfrac{3}{32} – \tfrac14 – \tfrac{1}{96}\big) = 0$。这时的期望收益是

$$\int_{1/4}^{1} d(1-d)\,\mathrm{d}d = \Big[\tfrac{d^2}{2} – \tfrac{d^3}{3}\Big]_{1/4}^{1} = \tfrac16 – \tfrac{5}{192} = \tfrac{27}{192} = \tfrac{9}{64},$$

是最优收益的 $(9/64)/(1/6) = 54/64 = 84.375\%$。损失的部分是 $5/192 \approx 0.026$，全部来自 $0 < v – c < 1/4$ 的那些「本该成交」的情形。

（c） 在对方采用线性策略时，数值求得的最佳报价与公式完全一致，说明它们构成均衡。成交条件 $2v/3 + 1/12 \ge 2c/3 + 1/4$ 化简后正是 $v \ge c + 1/4$：一个简单的「各报一个价、取中间」的规则，竟然恰好达到了所有可能规则中的最好结果 (Chatterjee and Samuelson 1983; Myerson and Satterthwaite 1983)。

这对谈判意味着什么

把定理翻译回谈判桌，有几点含义。

第一，双方都隐瞒底线时，僵局与错失的交易是正常现象，不一定是谁的错。 在上面的例子中，约有 $1/4$ 宽的一条带子上的交易会被放弃：买方的估值比卖方成本高出不到 0.25 时，双方的夸大互相抵消了全部的潜在收益。

第二，信息结构比口才更重要。 让一方的底线变得可核查（例如公开的成本审计、第三方评估），或者把双边问题变成多方竞争（引入更多买方或卖方），可以缩小这条带子。后者与第二章的拍卖相连：竞争越充分，私人信息带来的租金越小。

第三，外部补贴能买回效率。 定理中的「预算平衡」是关键：如果有一个第三方愿意承担赤字（例如在公共采购中由政府补贴、在平台上由平台补贴），有效交易就可以实现。第一章的克拉克机制与这里的问题是同一类：如实报告与有效决策可以同时得到，代价是预算。

本章小结

迈尔森—萨特思韦特定理说明，当买卖双方都有私人信息、估值区间重叠时，没有任何机制能同时做到贝叶斯激励相容、中期个人理性、事后有效与预算平衡。在均匀分布的例子中，最好的机制只在 $v \ge c + 1/4$ 时成交，实现最优交易收益的 $9/64 \div 1/6 = 84.375\%$；查特吉—萨缪尔森双边拍卖的线性均衡恰好达到这个上限，但该拍卖还有许多更差的均衡。效率损失来自信息结构，而不是来自技巧不足；缩小损失的办法是让信息可核查、引入竞争或由外部承担赤字。下一章离开机制，讨论两个人面对面讨价还价时的分配。