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第二章 拍卖：维克里、收益等价与 VCG 的孤独

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第二章 拍卖：维克里、收益等价与 VCG 的孤独

维克里的二价拍卖

1961 年，经济学家维克里在《金融学杂志》上发表了一篇关于拍卖与密封投标的长文。他分析了多种拍卖形式，其中最著名的是密封二价拍卖：每人写下一个出价，出价最高的人赢得物品，但只需支付第二高的出价 (Vickrey 1961)。

这个规则看上去奇怪：为什么要让赢家少付？维克里的回答是：正因为赢家支付的价格与自己的出价无关，每个人都不再需要猜测别人会出多少，只需写下自己真实的估值。

推导

报真值是弱占优策略：证明。 记你的估值为 vv，你的出价为 bb，其他人中的最高出价为 rr。你的收益是：b>rb > r 时为 v−rv – r，b<rb < r 时为 0（平局时平分）。注意 rr 只决定你付多少，而你的出价 bb 只决定你是否赢。

  • 若 v>rv > r：只要赢就有正收益 v−rv – r。出价 b=vb = v 一定赢；出价低于 rr 会错失这笔收益。
  • 若 v<rv < r：赢了就亏 r−vr – v。出价 b=vb = v 一定不赢；出价高于 rr 会赢下一笔亏本的买卖。
  • 若 v=rv = r：赢与不赢收益都是 0。

所以无论别人出多少，b=vb = v 都不比任何其他出价差；而对任何 b≠vb \ne v，总存在某个 rr 介于 bb 与 vv 之间，使 bb 严格更差。

推导

下面的程序在估值、出价与对手最高出价的网格上逐一检验这个结论。

# Second-price auction: highest bid wins, pays the best rival bid r (ties split).
# Check on a grid: bidding one's value v is never worse than any other bid b, for any r.
GRID = [round(k * 0.01, 2) for k in range(101)]

def payoff(v, b, r):
    return v - r if b > r else (v - r) / 2 if b == r else 0.0

worse, strict = 0, 0
for v in GRID:
    for b in GRID:
        d = [payoff(v, v, r) - payoff(v, b, r) for r in GRID]
        worse += sum(x < -1e-12 for x in d)
        strict += b != v and any(x > 1e-12 for x in d)
print(f"{len(GRID) ** 3:,} (value, bid, rival) cases; truthful bid worse: {worse} times")
print(f"untruthful (value, bid) pairs that lose strictly to some rival bid: {strict:,}")
print("v = 0.60; payoff when the best rival bid is 0.30 / 0.50 / 0.70 / 0.90:")
for b in (0.40, 0.60, 0.80):
    row = "  ".join(f"{payoff(0.6, b, r):+.2f}" for r in (.3, .5, .7, .9))
    print(f"  bid {b:.2f}: {row}")
# 1,030,301 (value, bid, rival) cases; truthful bid worse: 0 times
# untruthful (value, bid) pairs that lose strictly to some rival bid: 10,100
# v = 0.60; payoff when the best rival bid is 0.30 / 0.50 / 0.70 / 0.90:
#   bid 0.40: +0.30  +0.00  +0.00  +0.00
#   bid 0.60: +0.30  +0.10  +0.00  +0.00
#   bid 0.80: +0.30  +0.10  -0.10  +0.00

在 101 × 101 × 101 = 1,030,301 种「估值、出价、对手最高出价」的组合中，报真值从来没有比其他出价差；而在全部 10,100 种不如实的（估值、出价）组合中，每一种都至少在某个对手出价下严格吃亏。表格中估值 0.6 的例子说明了两种错误的代价：出价 0.4（压价）在对手出 0.5 时错过了 0.1 的收益；出价 0.8（抬价）在对手出 0.7 时赢下一笔亏 0.1 的买卖。

证据

实验中的二价拍卖。 尽管报真值是占优策略，实验室里的被试在二价拍卖中却普遍出价高于自己的估值。卡格尔、哈斯塔德与莱文报告，在关联私人价值的二价拍卖实验中，成交价格持续高于占优策略均衡的预测，说明被试出价高于真值；而在英式（升价）拍卖中，经过短暂的学习期后，结果与理论预测十分吻合 (Kagel, Harstad, and Levin 1987)。一种解释是：二价规则「自己的出价不决定价格」这一点并不直观，而升价拍卖中退出的时机直接可见。

一价拍卖：压价是均衡，不是赌运气

在一价拍卖中，赢家支付自己的出价。这时报真值就不再明智：如果出价等于估值，赢了也是零收益。于是人们会「压价」，出价低于估值。

常见的说法是把压价说成「赌一把对手出得更低」。更准确的说法是：在标准模型中，压价是一个可以精确计算的均衡策略。

推导

对称均衡的推导。 nn 个竞买人，估值相互独立、服从 [0, 1] 均匀分布，风险中性。猜测均衡策略为线性的 b(v)=βvb(v) = \beta v。若其他人都这样出价，你出价 bb 时，赢的条件是其余 n−1n – 1 人的出价都低于 bb，即他们的估值都低于 b/βb / \beta，概率为 (b/β)n−1(b/\beta)^{n-1}。你的期望收益为

U(b)=(v−b)(bβ)n−1. U(b) = (v – b)\left(\frac{b}{\beta}\right)^{n-1}.

对 bb 求导令其为零：−(b/β)n−1+(v−b)(n−1)bn−2/βn−1=0-(b/\beta)^{n-1} + (v-b)(n-1) b^{n-2}/\beta^{n-1} = 0，化简得 b=(n−1)v/nb = (n-1)v/n，所以 β=(n−1)/n\beta = (n-1)/n，猜测自洽。出价高一点，赢的概率上升；出价低一点，赢了以后的利润上升；均衡出价正好平衡这两种力量。竞争者越多，压价越少：两人时出价为估值的一半，十人时为估值的九成。

收益等价定理说：在这一类模型中，只要物品总是分给估值最高的人、估值最低的类型期望收益为零，那么任何拍卖形式给卖方带来的期望收入都相同 (Myerson 1981; Riley and Samuelson 1981)。在这里，期望收入都是第二高估值的期望 (n−1)/(n+1)(n-1)/(n+1)。

推导

程序先在网格上求最佳出价，与公式比较；再模拟一价、二价和全付拍卖（每个人都支付自己的出价，均衡出价为 (n−1)vn/n(n-1)v^n/n）的收入。

# First-price auction, n risk-neutral bidders, values i.i.d. uniform on [0, 1].
# If rivals bid (n-1)v/n, a bid b wins with probability (n b / (n-1))^(n-1).
# Find the best b on a grid.
import random

def best_bid(v, n, steps=20000):
    bids = [(n - 1) / n * k / steps for k in range(steps + 1)]
    return max(bids, key=lambda b: (v - b) * (n * b / (n - 1)) ** (n - 1))

print("best reply / formula (n-1)v/n")
for n in (2, 3, 5, 10):
    row = "  ".join(f"v={v}: {best_bid(v, n):.3f}/{(n - 1) * v / n:.3f}"
                    for v in (.3, .6, .9))
    print(f"  n = {n:2d}: {row}")
rng, R = random.Random(11), 100000
mean = lambda xs: sum(xs) / len(xs)
sd = lambda xs, m: (sum((x - m) ** 2 for x in xs) / len(xs)) ** 0.5
print("mean revenue in 100,000 auctions")
print("  n | first  | second | all-pay | (n-1)/(n+1) | sd first | sd second")
for n in (2, 3, 5):
    fp, sp, ap = [], [], []
    for _ in range(R):
        v = sorted(rng.random() for _ in range(n))
        fp.append((n - 1) / n * v[-1])                    # winner pays own bid
        sp.append(v[-2])                                  # winner pays 2nd value
        ap.append(sum((n - 1) / n * x ** n for x in v))   # all pay own bids
    m1, m2 = mean(fp), mean(sp)
    print(f"  {n} | {m1:.4f} | {m2:.4f} | {mean(ap):.4f}  |   {(n - 1) / (n + 1):.4f}"
          "    |"
          f"  {sd(fp, m1):.3f}   |  {sd(sp, m2):.3f}")
# best reply / formula (n-1)v/n
#   n =  2: v=0.3: 0.150/0.150  v=0.6: 0.300/0.300  v=0.9: 0.450/0.450
#   n =  3: v=0.3: 0.200/0.200  v=0.6: 0.400/0.400  v=0.9: 0.600/0.600
#   n =  5: v=0.3: 0.240/0.240  v=0.6: 0.480/0.480  v=0.9: 0.720/0.720
#   n = 10: v=0.3: 0.270/0.270  v=0.6: 0.540/0.540  v=0.9: 0.810/0.810
# mean revenue in 100,000 auctions
#   n | first  | second | all-pay | (n-1)/(n+1) | sd first | sd second
#   2 | 0.3333 | 0.3335 | 0.3333  |   0.3333    |  0.118   |  0.236
#   3 | 0.5004 | 0.4990 | 0.4995  |   0.5000    |  0.129   |  0.223
#   5 | 0.6670 | 0.6661 | 0.6661  |   0.6667    |  0.112   |  0.178

在对手采用 (n−1)v/n(n-1)v/n 的前提下，数值求得的最佳回应与公式在所有情形下都一致（到小数点后三位），说明它确实是均衡。三种拍卖的平均收入都与理论值 (n−1)/(n+1)(n-1)/(n+1) 相差不到 0.002，这就是收益等价。但等价的只是期望：二价拍卖收入的标准差明显大于一价拍卖（两人时为两倍，0.236 对 0.118；五人时约为 1.6 倍，0.178 对 0.112），对风险规避的卖方而言两者并不相同。

左：估值为 0.6、只有一个对手时，不同出价的期望收益。二价规则下收益在出价等于估值处最大；一价规则下在估值的一半处最大。右：一价拍卖的对称均衡出价函数 b(v) = (n-1)v/n，圆点为程序在网格上求得的最佳回应。

证据

风险规避与实验中的一价拍卖。 考克斯、史密斯与沃克的实验发现，一价拍卖中被试的出价系统性地高于风险中性的均衡出价，他们用竞买人的风险规避来解释这一点 (Cox, Smith, and Walker 1988)。收益等价定理依赖风险中性、独立私人价值与对称性等假设；这些假设不成立时，不同拍卖形式的收入一般不同 (Krishna 2009)。

所以，「压价」既不是赌运气，也不是人人都压得「恰好」。理论给出了一个风险中性的基准；现实中的人更怕输，往往出得比基准更高。

VCG：美丽而孤独

维克里的思想可以推广到多件物品与公共决策。克拉克 1971 年与格罗夫斯 1973 年的工作（上一章的枢纽机制就是其中一例）给出了一个一般的构造：选择使报告的总价值最大的方案，并让每个人支付她的出现给其他人造成的损失 (Clarke 1971; Groves 1973)。这就是维克里—克拉克—格罗夫斯（VCG）机制。它使如实报告成为占优策略，并实现有效配置。

但奥苏贝尔与米尔格罗姆在一篇题为《美丽而孤独的维克里拍卖》的文章中指出，现实中几乎没有人使用它，原因不只是计算复杂 (Ausubel and Milgrom 2006)。

推导

两件物品 A 与 B，可以按组合出价。竞买人 1 只想要组合 AB，竞买人 2 只想要 A，竞买人 3 只想要 B（这是奥苏贝尔与米尔格罗姆讨论的一类例子的简化版）。

# VCG with items A, B and package bids (after a kind of example in Ausubel-Milgrom 2006):
# pick the allocation with the largest reported value; each winner pays the loss her
# presence imposes on the others. Bidder 1 wants only AB, 2 only A, 3 only B.
from itertools import product

def best(bids, out=None):
    top, alloc = 0.0, {}
    names = [n for n in bids if n != out]
    for pick in product(*[[None] + list(bids[n]) for n in names]):
        items = [i for p in pick if p for i in p]
        val = sum(bids[n][p] for n, p in zip(names, pick) if p)
        if len(items) == len(set(items)) and val > top + 1e-12:
            top, alloc = val, {n: p for n, p in zip(names, pick) if p}
    return top, alloc

def vcg(label, bids):
    total, alloc = best(bids)
    pay = {n: best(bids, n)[0] - (total - bids[n][p]) for n, p in alloc.items()}
    w = " ".join(f"{n}:{p}" for n, p in alloc.items())
    pays = " ".join(f"{n}:{x:.1f}" for n, x in pay.items())
    print(f"{label:34s}| wins {w:8s}| pays {pays:16s}| revenue {sum(pay.values()):.1f}")

vcg("AB=2 (1), A=2 (2), B=2 (3)", {"1": {"AB": 2}, "2": {"A": 2}, "3": {"B": 2}})
vcg("AB=2 (1), A=2 (2), 3 absent", {"1": {"AB": 2}, "2": {"A": 2}})
vcg("AB=2 (1), A=0.5 (2), B=0.5 (3)", {"1": {"AB": 2}, "2": {"A": .5}, "3": {"B": .5}})
# Weakness, not a method: if the two LOSING bidders both overstate, both win and pay 0.
# Such coordination is unlawful bid rigging in most jurisdictions.
vcg("same, but 2 and 3 each report 2", {"1": {"AB": 2}, "2": {"A": 2}, "3": {"B": 2}})
# AB=2 (1), A=2 (2), B=2 (3)        | wins 2:A 3:B | pays 2:0.0 3:0.0     | revenue 0.0
# AB=2 (1), A=2 (2), 3 absent       | wins 2:A     | pays 2:2.0           | revenue 2.0
# AB=2 (1), A=0.5 (2), B=0.5 (3)    | wins 1:AB    | pays 1:1.0           | revenue 1.0
# same, but 2 and 3 each report 2   | wins 2:A 3:B | pays 2:0.0 3:0.0     | revenue 0.0

前两行显示了收入的非单调性：三人都在时，A 与 B 分别归竞买人 2 与 3（总价值 4 高于竞买人 1 的 2），但两人都不需付任何钱，卖方收入为 0；如果竞买人 3 缺席，收入反而是 2（此时竞买人 1 与 2 的报价相同，程序按先后打破平局，收入不受影响）。增加竞争者反而使收入从 2 降到 0。

后两行显示了另一个弱点：当竞买人 2 与 3 的真实估值只有 0.5 时，竞买人 1 应当赢得组合并支付 1；但如果两个本应落败的竞买人都把报价夸大到 2，他们就会双双获胜并且都不付钱。也就是说，VCG 对落败者之间的协调特别脆弱；同一个人用多个虚假身份参加，也可能获益 (Ausubel and Milgrom 2006)。

注

本书不提供任何串通或围标的方法。 竞买人之间协调报价、围标、陪标或使用虚假身份竞价，在大多数国家和地区都违反反垄断、招投标或反欺诈的法律。这里讨论它们，只是因为机制设计者必须知道一套规则在什么地方容易被破坏，才能防范：例如采用升价的组合拍卖、设置保留价、核实竞买人身份，以及由竞争主管机构监督。

VCG 还有其他的实际困难：报告真实估值等于把自己的商业秘密交给拍卖方；对组合的估值数量随物品数指数增长；最后的价格可能远低于卖方认为「合理」的水平，从而在政治上难以接受。理论上最干净的规则，在实践中常常需要让位于更透明、更稳健的规则。

本章小结

二价拍卖让赢家支付第二高出价，使自己的出价只决定是否获胜、不决定价格，因此报真值是弱占优策略；程序在一百多万种组合上验证了这一点。但实验中的被试仍常常高报。一价拍卖中，压价是可以推导的均衡策略：在 nn 人均匀独立私人价值的模型中，b(v)=(n−1)v/nb(v) = (n-1)v/n；实验中的出价常高于这一风险中性基准。收益等价定理说明一价、二价与全付拍卖的期望收入相同，但收入的风险不同。VCG 机制在理论上实现如实报告与有效配置，在实践中却可能收入很低、随竞争者增加反而下降，并且对落败者的协调与虚假身份很脆弱。下一章讨论，当买卖双方都有私人信息时，事情会难到什么程度。

参考文献

Ausubel, Lawrence M., and Paul Milgrom. 2006. “The Lovely but Lonely Vickrey Auction.” In Combinatorial Auctions, edited by Peter Cramton, Yoav Shoham, and Richard Steinberg, 17–40. Cambridge, MA: MIT Press.
Clarke, Edward H. 1971. “Multipart Pricing of Public Goods.” Public Choice 11: 17–33. https://doi.org/10.1007/BF01726210.
Cox, James C., Vernon L. Smith, and James M. Walker. 1988. “Theory and Individual Behavior of First-Price Auctions.” Journal of Risk and Uncertainty 1 (1): 61–99. https://doi.org/10.1007/BF00055565.
Groves, Theodore. 1973. “Incentives in Teams.” Econometrica 41 (4): 617–31. https://doi.org/10.2307/1914085.
Kagel, John H., Ronald M. Harstad, and Dan Levin. 1987. “Information Impact and Allocation Rules in Auctions with Affiliated Private Values: A Laboratory Study.” Econometrica 55 (6): 1275–1304.
Krishna, Vijay. 2009. Auction Theory. 2nd ed. Burlington, MA: Academic Press.
Myerson, Roger B. 1981. “Optimal Auction Design.” Mathematics of Operations Research 6 (1): 58–73. https://doi.org/10.1287/moor.6.1.58.
Riley, John G., and William F. Samuelson. 1981. “Optimal Auctions.” American Economic Review 71 (3): 381–92.
Vickrey, William. 1961. “Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders.” Journal of Finance 16 (1): 8–37. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x.

Fan, Y. (2026). Mechanism Design, Incentive Compatibility and the Game Theory of Negotiation: From Vickrey Auctions and the Myerson-Satterthwaite Theorem to Nash Bargaining, Read Beside Classical Chinese Legalist and Confucian Institutional Thought [机制设计、激励相容与谈判博弈的数学模型] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23765012 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).