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第四章 议价：纳什、鲁宾斯坦与 BATNA 的真正作用

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第四章 议价：纳什、鲁宾斯坦与 BATNA 的真正作用

两条路通向同一个公式

两个人分一笔总额为 1 的剩余。如果谈不成，各自得到 d1d_1 与 d2d_2（d1+d2<1d_1 + d_2 < 1）。他们会怎样分？经济学对这个问题有两种截然不同的进路。

纳什的公理化进路不描述谈判过程，而是问：一个「合理」的分配应当满足哪些性质？纳什 1950 年提出四条公理（对效用的线性变换不变、帕累托有效、对称、无关选择的独立性），并证明唯一满足它们的解是使纳什积 (x1−d1)(x2−d2)(x_1 – d_1)(x_2 – d_2) 最大的分配 (Nash 1950)。这里的 (d1,d2)(d_1, d_2) 称为威胁点或谈判破裂点。放松对称公理，就得到带权重 α\alpha 的非对称纳什解：最大化 (x1−d1)α(x2−d2)1−α(x_1 – d_1)^{\alpha}(x_2 – d_2)^{1-\alpha}。

鲁宾斯坦的策略进路明确写出谈判过程：参与者 1 先出价，参与者 2 接受或拒绝；拒绝则过一轮，由参与者 2 出价，如此交替，没有截止期限。每拖延一轮，参与者 ii 的收益要乘以贴现因子 δi<1\delta_i < 1，代表等待的成本。鲁宾斯坦 1982 年证明这个无限期博弈有唯一的子博弈完美均衡，第一轮就成交 (Rubinstein 1982)。

推导

鲁宾斯坦份额的推导。 设在均衡中，轮到参与者 1 出价时她得到 x1*x_1^*，轮到参与者 2 出价时他得到 x2*x_2^*。参与者 1 出价时，必须给参与者 2 至少他拒绝后能得到的价值 δ2x2*\delta_2 x_2^*，并且不多给：x1*=1−δ2x2*x_1^* = 1 – \delta_2 x_2^*。对称地，x2*=1−δ1x1*x_2^* = 1 – \delta_1 x_1^*。联立解得

x1*=1−δ21−δ1δ2. x_1^* = \frac{1 – \delta_2}{1 – \delta_1 \delta_2}.

非对称纳什解的一阶条件给出 x1*=d1+α(1−d1−d2)x_1^* = d_1 + \alpha(1 – d_1 – d_2)。

推导

程序先在网格上直接最大化纳什积，再用 400 轮的有限期逆向归纳逼近鲁宾斯坦的无限期均衡，最后让每轮的间隔 Δt\Delta t 趋于零，取 δi=e−riΔt\delta_i = e^{-r_i \Delta t}。

# (a) Asymmetric Nash: maximise (x - d1)^a (1 - x - d2)^(1-a) => x* = d1 + a(1-d1-d2).
# (b) Rubinstein, player 1 proposes first: x1* = (1 - delta2) / (1 - delta1 delta2); check
#     against 400 rounds of backward induction. (c) delta_i = exp(-r_i dt), dt -> 0.
import math

def nash(d1, d2, a, steps=100000):
    xs = [d1 + (1 - d1 - d2) * k / steps for k in range(1, steps)]
    return max(xs, key=lambda x: a * math.log(x - d1) + (1 - a) * math.log(1 - x - d2))

for d1, d2, a in ((0, 0, .5), (.3, .1, .5), (.3, .1, .7)):
    print(f"Nash d=({d1}, {d2}) a={a}: x1 = {nash(d1, d2, a):.4f}; formula "
          f"{d1 + a * (1 - d1 - d2):.4f}")

def backward(dl1, dl2, rounds=400):    # the last proposer (player 2) takes everything
    share = 1.0
    for k in range(rounds - 1):        # proposer offers the responder her continuation
        share = 1 - (dl2 if k % 2 == 0 else dl1) * share
    return share

for dl1, dl2 in ((.9, .9), (.95, .8), (.8, .95)):
    print(f"Rubinstein delta=({dl1}, {dl2}): x1 = {(1 - dl2) / (1 - dl1 * dl2):.4f};"
          f" backward induction {backward(dl1, dl2):.4f}")
r1, r2 = 0.05, 0.15
print(f"r1 = {r1}, r2 = {r2} per day; Nash weight r2/(r1+r2) = {r2 / (r1 + r2):.4f}")
for dt in (7, 1, 0.1, 0.01):
    a, b = math.exp(-r1 * dt), math.exp(-r2 * dt)
    print(f"  an offer every {dt:>4} days: player 1 gets {(1 - b) / (1 - a * b):.4f}")
# Nash d=(0, 0) a=0.5: x1 = 0.5000; formula 0.5000
# Nash d=(0.3, 0.1) a=0.5: x1 = 0.6000; formula 0.6000
# Nash d=(0.3, 0.1) a=0.7: x1 = 0.7200; formula 0.7200
# Rubinstein delta=(0.9, 0.9): x1 = 0.5263; backward induction 0.5263
# Rubinstein delta=(0.95, 0.8): x1 = 0.8333; backward induction 0.8333
# Rubinstein delta=(0.8, 0.95): x1 = 0.2083; backward induction 0.2083
# r1 = 0.05, r2 = 0.15 per day; Nash weight r2/(r1+r2) = 0.7500
#   an offer every    7 days: player 1 gets 0.8628
#   an offer every    1 days: player 1 gets 0.7684
#   an offer every  0.1 days: player 1 gets 0.7519
#   an offer every 0.01 days: player 1 gets 0.7502

数值最大化纳什积的结果与公式一致：威胁点为 (0.3, 0.1)、权重相等时，参与者 1 得到 0.6，即自己的威胁点再加上剩余 0.6 的一半。鲁宾斯坦公式与 400 轮逆向归纳的结果也完全一致：双方都是 0.9 时，先出价的一方得到 0.5263，这个微小的优势来自先出价；参与者 1 更耐心（0.95 对 0.8）时她得到 0.8333，反过来只得到 0.2083。耐心就是议价力量。

最后几行把两种进路连在一起。设参与者 2 每天的「不耐心率」是参与者 1 的三倍（0.15 对 0.05）。每 7 天出一次价时，参与者 1 得到 0.8628，其中仍含有先出价的优势；出价间隔缩短到 0.01 天时，她得到 0.7502，趋近于 r2/(r1+r2)=0.75r_2/(r_1 + r_2) = 0.75。

证据

两种进路的联系。 宾莫尔、鲁宾斯坦与沃林斯基 1986 年证明：当出价间隔趋于零时，鲁宾斯坦的策略均衡收敛到非对称纳什解，权重由双方的相对耐心决定，即 α=r2/(r1+r2)\alpha = r_2/(r_1 + r_2) (Binmore, Rubinstein, and Wolinsky 1986)。他们同时指出一个重要的建模区分：纳什解中的威胁点，在策略模型中应当对应于谈判进行期间双方得到的收益（例如罢工期间工会的罢工基金、继续生效的旧合同），而不是谈判彻底破裂、各自离开后的收益。后者在策略模型中是另一种东西：外部选择 (Binmore, Rubinstein, and Wolinsky 1986; Muthoo 1999)。

BATNA：威胁点，还是外部选择？

费希尔与尤里在 1981 年的畅销书《谈判力》（Getting to Yes）中提出了 BATNA 一词：「谈判协议的最佳替代方案」（best alternative to a negotiated agreement），即谈不成时你能做的最好的事 (Fisher and Ury 1981)。他们的建议是：了解并改善自己的 BATNA，因为它决定了你能接受的底线，也决定了你的谈判力量。

在纳什的公理化模型中，这句话完全成立：把 BATNA 当作威胁点，did_i 每提高一分，你的份额就提高 1−α1 – \alpha 分。但在轮流出价的策略模型中，退路的作用方式不同。

证据

外部选择原则。 萨顿 1986 年的综述与宾莫尔、谢克德、萨顿 1989 年的实验讨论了这样一个模型：在鲁宾斯坦的轮流出价中，参与者 2 在拒绝对方出价时可以选择离开、拿走外部选择 w2w_2。均衡结果是：如果 w2w_2 不超过他在没有外部选择时本来就能得到的份额，外部选择对结果没有任何影响；只有当 w2w_2 超过这个份额时，对方才需要恰好给他 w2w_2 (Sutton 1986; Binmore, Shaked, and Sutton 1989)。这被称为「外部选择原则」。宾莫尔等人的实验发现，被试的分配更接近这一策略预测，而不是把外部选择当作纳什威胁点的「折中」预测 (Binmore, Shaked, and Sutton 1989)。

推导

同一笔总额为 1 的剩余，贴现因子 δ=0.9\delta = 0.9，比较三种预测：（1）「各让一半」——把外部选择当作纳什威胁点、权重相等；（2）外部选择原则；（3）内部选择——参与者 2 在谈判进行期间每轮都能得到一笔流量收益（标准化为若永远持续则价值 b2b_2）。

# Surplus 1, common discount factor 0.9, player 1 proposes first. Player 2's share under:
# (1) split the difference: outside option w2 as a Nash threat point, equal weights;
# (2) outside option principle (Sutton 1986; Binmore, Shaked, Sutton 1989): max(base, w2)
#     with base = delta / (1 + delta); (3) an INSIDE option: a flow paid to player 2
#     in each round WHILE talks go on, worth b2 if it lasted for ever (backward
#     induction).
D = 0.9
split = lambda w2: w2 + (1 - w2) / 2
principle = lambda w2: max(D / (1 + D), w2)

def inside(b2, rounds=600):
    v2 = 1.0                                   # last round: player 2 proposes, takes all
    for k in range(rounds - 1):
        if k % 2 == 0: v2 = (1 - D) * b2 + D * v2      # player 1 offers 2 his value
        else:          v2 = 1 - D * (1 - v2)           # player 2 offers 1 her value
    return v2                                  # round 1, player 1 proposing

print(f"no option: player 2 gets {D / (1 + D):.4f}")
print("  w2  | split the difference | outside option principle")
for w2 in (0.0, 0.2, 0.4, 0.47, 0.5, 0.6, 0.8):
    print(f" {w2:4.2f} |        {split(w2):.4f}        |          {principle(w2):.4f}")
print("inside flow b2 -> player 2's share: " +
      "  ".join(f"{b2:.1f}: {inside(b2):.4f}" for b2 in (0, .2, .4, .6)))
# no option: player 2 gets 0.4737
#   w2  | split the difference | outside option principle
#  0.00 |        0.5000        |          0.4737
#  0.20 |        0.6000        |          0.4737
#  0.40 |        0.7000        |          0.4737
#  0.47 |        0.7350        |          0.4737
#  0.50 |        0.7500        |          0.5000
#  0.60 |        0.8000        |          0.6000
#  0.80 |        0.9000        |          0.8000
# inside flow b2 -> player 2's share: 0.0: 0.4737  0.2: 0.5789  0.4: 0.6842  0.6: 0.7895

在没有任何选择时，参与者 2（后出价的一方）得到 δ/(1+δ)=0.4737\delta/(1+\delta) = 0.4737。外部选择从 0 提高到 0.47，「各让一半」的预测让他的份额从 0.50 稳步升到 0.735；但按外部选择原则，他的份额始终是 0.4737，一动不动。只有当外部选择超过 0.4737（例如 0.5、0.6、0.8）时，它才「激活」，而此时他得到的恰好就是外部选择本身，没有任何额外的分成。内部选择则完全不同：它每提高 0.2，参与者 2 的份额就提高约 0.105，就像纳什的威胁点一样起作用。

参与者 2 的份额与其外部（或内部）选择的关系。虚线：把外部选择当作纳什威胁点（各让一半）；实线：轮流出价中的外部选择原则，选择低于 \delta/(1+\delta) 时不起作用；点线：谈判期间的内部选择，像威胁点一样持续改变份额。

注

对作者原框架的修正。 「你的筹码取决于你的 BATNA」需要拆成三句话：第一，BATNA 决定了你的底线——任何低于它的协议都不该接受，这一点在所有模型中都成立。第二，如果谈判的结果像纳什解那样由「破裂时各得多少」决定，改善 BATNA 会持续提高你的份额。第三，如果谈判是轮流出价、拖延有成本的过程，一个不够好的外部选择根本不会改变结果；这时真正决定份额的是双方的耐心（等待成本、现金流）与谈判期间各自的收益。哪一个模型更贴近某一场具体谈判，是一个经验问题；本书第八章的核查表因此把「BATNA」与「耐心」分成两步来审计。

威胁的可信性与耐心的来源

两点补充。第一，外部选择必须可信。一个在拒绝时并不会真的离开的「备选方案」，在策略模型中等于不存在；反过来，一个对方相信你会使用的选择，即使你本人并不喜欢它，也会产生影响。第二，「耐心」在模型中是贴现率，在现实中往往由现金流决定：账上资金只够撑三个月的一方，每拖一周的损失都比资金充裕的一方大得多。本系列第 19 本讨论过现金缓冲与凯利准则；这里只指出，缓冲不仅降低破产风险，也直接提高议价中的耐心。

假说 · 尚未验证

谈判者高估了「弱外部选择」的作用（尚未确立）。在实验中给一方提供一个低于其通常份额的外部选择，并告诉另一方，拥有选择的一方会预期自己的份额上升，并据此提出更高的要求，导致僵局增加，而最终份额并不上升。可以检验的预测：与没有外部选择的对照组相比，弱外部选择组的首轮要求更高、达成协议的时间更长，但成交时的份额没有显著差别。如果弱外部选择组的份额显著上升，说明现实谈判更接近「各让一半」的逻辑，这一假说被削弱。

本章小结

纳什的公理化议价解最大化 (x1−d1)α(x2−d2)1−α(x_1 – d_1)^{\alpha}(x_2 – d_2)^{1-\alpha}；鲁宾斯坦的轮流出价模型给出 x1*=(1−δ2)/(1−δ1δ2)x_1^* = (1 – \delta_2)/(1 – \delta_1\delta_2)，耐心就是议价力量。当出价间隔趋于零时，两者重合，纳什权重由相对耐心决定。BATNA 决定了你的底线，但它是否提高你的份额取决于谈判的结构：作为纳什威胁点，它持续起作用；作为轮流出价中的外部选择，它只有在高于你本来就能得到的份额时才起作用；谈判期间的内部收益才像威胁点一样持续改变份额。下一章讨论另一类信息问题：一方知道商品的质量，另一方不知道。

参考文献

Binmore, Ken, Ariel Rubinstein, and Asher Wolinsky. 1986. “The Nash Bargaining Solution in Economic Modelling.” RAND Journal of Economics 17 (2): 176–88. https://doi.org/10.2307/2555382.
Binmore, Ken, Avner Shaked, and John Sutton. 1989. “An Outside Option Experiment.” Quarterly Journal of Economics 104 (4): 753–70. https://doi.org/10.2307/2937866.
Fisher, Roger, and William Ury. 1981. Getting to Yes: Negotiating Agreement Without Giving in. Boston: Houghton Mifflin.
Muthoo, Abhinay. 1999. Bargaining Theory with Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
Nash, John F. 1950. “The Bargaining Problem.” Econometrica 18 (2): 155–62. https://doi.org/10.2307/1907266.
Rubinstein, Ariel. 1982. “Perfect Equilibrium in a Bargaining Model.” Econometrica 50 (1): 97–109. https://doi.org/10.2307/1912531.
Sutton, John. 1986. “Non-Cooperative Bargaining Theory: An Introduction.” Review of Economic Studies 53 (5): 709–24.

Fan, Y. (2026). Mechanism Design, Incentive Compatibility and the Game Theory of Negotiation: From Vickrey Auctions and the Myerson-Satterthwaite Theorem to Nash Bargaining, Read Beside Classical Chinese Legalist and Confucian Institutional Thought [机制设计、激励相容与谈判博弈的数学模型] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23765012 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).