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第一章 熵：为什么一切都会冷却
一杯茶与一百枚硬币
把一杯热茶放在桌上，不去管它。半小时后它变温，两小时后它和房间一样凉。从来没有人见过相反的事：一杯温茶，自己从房间里吸回热量，重新冒起热气。热力学第二定律说的就是这种单行道：在孤立系统中，一个叫做熵的量永不减少，实际上会一直增加，直到系统达到平衡。
十九世纪的大部分时间里，这是一条没有解释的定律。路德维希·玻尔兹曼给出了解释。他认为，熵计数的是：在系统从外面看起来一模一样的前提下，它那些看不见的组成部分（分子）可以有多少种排列方式 (Boltzmann 1877)。这个公式后来用另一种记号刻在了他维也纳的墓碑上：
其中 是与我们所见的宏观状态（宏观态）相容的微观排列（微观态）的数目， 焦耳每开尔文是玻尔兹曼常数，它把一个纯粹的计数换算成热的单位。
证据
在统计力学中，第二定律是一个关于概率的陈述。能以更多方式实现的宏观态更可能出现；当系统可以自由地遍历它的微观态时，它压倒性地会落到 最大的那些宏观态里。对于一杯茶这样大小的系统，数目大到「压倒性」意味着相反的情况从未被观察到 (Schroeder 2000)。
用硬币代替分子，这个想法最容易看清。抛一百枚硬币：宏观态是正面朝上的个数，微观态是完整的序列，即每一枚是正是反。
推导
from math import comb, log
k_B = 1.380649e-23 # J/K
N = 100 # 硬币数
for heads in (100, 90, 75, 50):
omega = comb(N, heads)
print(f"{heads:3d} heads: Omega = {omega:9.3e} S/k_B = ln(Omega) = {log(omega):5.1f}")
print(f"S for 50 heads = {k_B * log(comb(N, 50)):.2e} J/K")
total = 2 ** N
near_half = sum(comb(N, h) for h in range(40, 61))
print(f"share of all microstates with 40-60 heads: {near_half / total:.4f}")
print(f"chance of 90 or more heads: {sum(comb(N, h) for h in range(90, 101)) / total:.1e}")
# 100 heads: Omega = 1.000e+00 S/k_B = ln(Omega) = 0.0
# 90 heads: Omega = 1.731e+13 S/k_B = ln(Omega) = 30.5
# 75 heads: Omega = 2.425e+23 S/k_B = ln(Omega) = 53.8
# 50 heads: Omega = 1.009e+29 S/k_B = ln(Omega) = 66.8
# S for 50 heads = 9.22e-22 J/K
# share of all microstates with 40-60 heads: 0.9648
# chance of 90 or more heads: 1.5e-17一百个正面只有一种排法，五十个正面却有大约 种。所有可能的序列中，将近 97% 落在四十到六十个正面之间。没有什么力量把硬币推向中间；中间只是几乎所有可能性所在的地方。把硬币放进盒子里摇，它们自然会去那里；而一百个正面一旦失去，在宇宙的寿命之内都不会回来。
一杯茶里有大约 个分子，而不是一百个，数目也相应地暴涨。这就是为什么第二定律「只不过」是一个概率陈述，表现得却像一条铁律。
开放系统与负熵
第二定律说的是孤立系统，即既不与外界交换能量、也不交换物质的系统。我们生活中几乎没有什么是孤立的。冰箱靠做功、把热量排到厨房里，让内部变冷；厨房增加的熵比食物减少的熵更多，所以总熵依然上升。只要别处有人付账，局部的秩序就可以增长。
生命是最惊人的例子。一个细胞、一个身体、一片森林，都是极不可能的物质排列，而且能这样维持多年乃至几百年。它们的办法是：以有序的形式摄入能量（阳光或食物），以无序的形式（热）把能量还回去。
证据
1944 年，物理学家埃尔温·薛定谔用一句话概括了这一点，这句话沿用至今：「生物体以负熵为食。」他解释说，新陈代谢的本质在于，生物体成功地把它活着时不可避免产生的熵全部排出去 (Schrödinger 1944)。「负熵」不是一种物质，而是一个简称：一股流入系统的秩序，代价是一股更大的、流出系统的无序。
请记住这幅图景，本书后面都要靠它。开放系统里能够持久的秩序，不是一件占有物，而是一个过程，是流入与漏出之间的平衡。流入一停，秩序不会停在原处，而会像那杯茶一样，向最可能的状态松弛。
从热到信息
1948 年，贝尔实验室的工程师克劳德·香农想找一个办法，度量一条消息携带了多少信息。他得到的公式，与统计物理中的熵形状相同 (Shannon 1948)。如果一个信源以概率 产生各种结果，它的熵（以比特为单位）是
当某个结果确定无疑时， 为零；当所有结果同样可能时， 最大。它度量一个概率分布摊得有多开，或者等价地说，我们对接下来会发生什么有多不确定。
注
香农的 与玻尔兹曼的 ，是把同一套数学用在不同的对象上。当概率是某个物理系统各微观态的概率时，两者只差一个常数 。当概率描述的是别的东西，比如一段文字里的字母、一个人的注意力投向何处， 依然是度量分散程度的好工具，但它不是热力学量：没有热量流动，也不涉及温度。本书在后一种意义上使用 ，并且不假装是前一种。
信息与热在一个地方直接相遇。罗尔夫·兰道尔在 1961 年证明：在物理装置中擦除一比特信息，至少要向环境释放 的热量 (Landauer 1961)。遗忘有一个最低的能量价格。
推导
兰道尔极限和人脑实际消耗的能量相比如何？
from math import log
k_B = 1.380649e-23 # J/K
T = 310.0 # 体温，K
landauer = k_B * T * log(2)
print(f"Landauer limit at 310 K: {landauer:.2e} J per erased bit")
rest_kcal_per_day = 1700 # 成年人典型的静息代谢
body_W = rest_kcal_per_day * 4184 / 86400
brain_W = 0.20 * body_W # 大脑约占五分之一
print(f"resting body: {body_W:4.1f} W brain (20 %): {brain_W:4.1f} W")
print(f"brain power / Landauer limit: {brain_W / landauer:.1e} bit erasures per second")
# Landauer limit at 310 K: 2.97e-21 J per erased bit
# resting body: 82.3 W brain (20 %): 16.5 W
# brain power / Landauer limit: 5.5e+21 bit erasures per second证据
人脑约占体重的 2%，却消耗静息时全身约 20% 的能量。其中大部分用于持续进行的活动；一个人集中注意做某项任务时额外消耗的能量，相比之下很小 (Raichle and Gusnard 2002)。
计算表明，大脑的工作远远没有接近热力学极限；证据表明，集中注意力并不多花多少能量。所以人们说注意力被「耗干」「用光」时，描述的并不是字面意义上焦耳的短缺，而是另一回事：注意力是一种有限的容量，必须分配，而怎样分配是有后果的。香农熵正是在这里派上用场。
一个晚上的熵
把在家的一个晚上看作一个概率分布：注意力有多少份给了桌子对面的人，多少给了饭菜、手机、工作消息、背景里开着的电视。香农公式把这个分布变成一个数。
推导
from math import log2
def H(p):
return 0.0 - sum(x * log2(x) for x in p if x > 0)
evenings = {
"one shared activity": [1.0],
"dinner, mostly together": [0.7, 0.2, 0.1],
"4 things, evenly": [0.25] * 4,
"16 apps and tabs, evenly": [1 / 16] * 16,
}
for name, p in evenings.items():
print(f"{name:26s} H = {H(p):4.2f} bits (max for {len(p):2d} options: {log2(len(p)):4.2f})")
# one shared activity H = 0.00 bits (max for 1 options: 0.00)
# dinner, mostly together H = 1.16 bits (max for 3 options: 1.58)
# 4 things, evenly H = 2.00 bits (max for 4 options: 2.00)
# 16 apps and tabs, evenly H = 4.00 bits (max for 16 options: 4.00)四种晚上依次是：只做一件共同的事；晚饭，大部分时间在一起；四件事平均分；十六个应用和网页平均分。
每多一比特，注意力可能落脚的、同样可能的地方就翻一倍。一个 4 比特的晚上，在这个精确的意义上，比一个专注于一件事的晚上分散十六倍。
熵高不一定更糟。聚会、集市、头脑风暴，本来就是要把注意力摊开。但如果注意力总是摊开的，而且是默认如此而不是主动选择，就会有可测量的代价。
证据
在实验室任务中，习惯同时使用多种媒体的人，比很少这样做的人更容易被无关刺激干扰，在任务之间切换也更慢 (Ophir, Nass, and Wagner 2009)。一项关于被打断的办公室工作的研究发现，人们会加快速度来弥补被打断的时间，但报告了更多的压力、挫败感、时间压力和费力感 (Mark, Gudith, and Klocke 2008)。这两项研究都没有测量亲密关系；它们表明的是，分散的注意力并非没有代价。
两千多年前，中国古典传统就有类似的观察，只是没有算术。
原典
五色令人目盲，五音令人耳聋，五味令人口爽，驰骋畋猎令人心发狂，难得之货令人行妨。是以圣人为腹不为目，故去彼取此。(老子, n.d.)
白话（作者译）：缤纷的颜色使人眼花，繁杂的声音使人耳聋，浓烈的滋味使人味觉败坏，纵马打猎使人心发狂，稀罕的财货使人行为失当。所以圣人只求腹中充实，不求眼目之娱；舍弃那个，选取这个。（《道德经》第十二章）
这一章并不是说颜色、音乐和美食是坏的。它说的是：被每一种刺激往外拉的心，会失去感受其中任何一种的能力；什么都看的眼睛，什么也没看见。这里的「腹」，通常被理解为从内部滋养人的东西，与从外部炫目的东西相对。用本章的语言说，圣人是有意选择了一种低熵的注意力分配。
冷却意味着什么，不意味着什么
现在可以小心地写出本书的第一个想法。
假说 · 尚未验证 · 共同注意力的松弛
如果没有持续的输入，两个人给彼此的注意力就会摊开到许多与之竞争的事物上，因为注意力「在别处」的方式，远远多于「在一起」的方式。照这个看法，一段关系的「冷却」首先是共同注意力的一种统计性松弛，既不是谁做了决定，也不是哪一方有缺陷。
这个假说可以检验。它预测：在几个月的时间里，除非有什么主动去更新它，一对伴侣清醒时共同投入的注意力份额会下降；同一时期，每个人在家时注意力分布的香农熵会上升；而且这两个变化发生在自述亲密感下降之前，而不是之后。如果亲密感先下降、注意力才跟着变，或者两者毫无关系，这个假说就是错的。
注
第二定律并没有说爱必然终结。它说的是孤立系统会衰竭。一段关系不是孤立的：它向新的经历、向修复、向共同的事业、向周围的世界敞开。问题不在于熵会不会增加，而在于是什么让一个开放系统保持有序。这是后两章的主题：第二章问，为什么重复的快乐会失去力量；第三章问，靠流维持的系统怎样保持秩序，又怎样崩塌。
参考文献
Fan, Y. (2026). The Thermodynamics of Desire: Entropy, Dopamine Prediction Error and Dissipative Structures in Human Bonds [欲望的热力学] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23682498 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).