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第四章 滞后与临界点

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第四章 滞后与临界点

双稳态与滞后

第三章的地形是固定的。现实中，地形本身会随外部条件缓慢变化：作息、环境、人际关系、身体状况。本章研究这样一个问题：当外部条件 hh 慢慢变化时，一个有两个稳定状态的系统会发生什么。

推导

最简单的模型（尖点灾变的标准形式）是

dxdt=h+x−x3,U(x)=x44−x22−hx.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = h + x – x^3, \qquad U(x) = \frac{x^4}{4} – \frac{x^2}{2} – hx .

当 |h|<hc=2/(33)≈0.385|h| < h_c = 2/(3\sqrt{3}) \approx 0.385 时，系统有两个稳定状态和夹在中间的一个不稳定状态（山脊）。当 hh 增大到 hch_c，左边的稳定状态与山脊合并、消失，这叫鞍结分岔（saddle-node bifurcation）；系统别无去处，只能跳到右边的稳定状态 (Strogatz 2015)。

平衡状态随外部条件 h 的变化。实线是稳定状态，虚线是不稳定的山脊。h 从左向右慢慢增大时，系统沿下方实线走到折点才向上跳；h 再慢慢减小时，系统沿上方实线一直走到左边的折点才跳回。两次跳跃发生在不同的位置，这就是滞后。

注

术语说明：原先的设想写作「一旦越过鞍点（Saddle Node）就会自然滑入新稳态」。这里有两个概念需要分开。在固定的地形上，两个山谷之间的不稳定平衡点（一维中的山脊，高维中的鞍点）是「越过就会滑进另一边」的那个点；而鞍结分岔指的是外部条件变化时，一个稳定状态与一个不稳定状态合并、一同消失的那一刻。本章两者都会用到，但它们不是同一回事。

滞后回线与「半途而废」

推导

程序做两件事。第一，让 hh 从 −0.6 慢慢增加到 0.6 再减回去，记录状态跳变的位置。第二，从旧状态 x=−1x = -1 出发，施加强度为 hpushh_{\text{push}} 的外力一段时间 TT，然后撤掉外力（h=0h = 0），看系统最后停在哪一边，找出能让系统留在新状态的最短 TT。

# Bistability, hysteresis and tipping: dx/dt = h + x - x^3   (U = x^4/4 - x^2/2 - h x).
# For |h| < 2/(3*sqrt(3)) = 0.385 there are two stable states; at the fold (saddle-node) one vanishes.
# Simplified model; h stands for slowly changing conditions, x for the state of a routine.
import math
DT = 0.01
H_C = 2 / (3 * math.sqrt(3))

def settle(x, h, t=60.0):
    for _ in range(int(t / DT)):
        x += (h + x - x ** 3) * DT
    return x

# 1. Slow sweep of h up and back down: the state jumps at different places on the way up and down.
x, h, jumps = -1.0, -0.6, []
for direction in (+1, -1):
    while (h < 0.6) if direction > 0 else (h > -0.6):
        x_old = x
        x = settle(x, h, t=2.0)
        if (x_old < 0) != (x < 0):
            jumps.append((direction, h))
        h += direction * 0.005
for d, hj in jumps:
    print(f"sweeping {'up  ' if d > 0 else 'down'}: state jumps at h = {hj:+.3f}  (fold at {d * H_C:+.3f})")

# 2. "Giving up halfway": push with h_push for a time T, then let go (h = 0). Does it stay switched?
print("push h   shortest push that still ends in the new state")
for h_push in (0.40, 0.45, 0.60, 1.00):
    T = 0.0
    while True:
        T += 0.05
        x = settle(-1.0, h_push, t=T)
        if settle(x, 0.0) > 0:
            break
    print(f"{h_push:5.2f}    T = {T:4.2f}")
# sweeping up  : state jumps at h = +0.420  (fold at +0.385)
# sweeping down: state jumps at h = -0.420  (fold at -0.385)
# push h   shortest push that still ends in the new state
#  0.40    T = 17.35
#  0.45    T = 7.30
#  0.60    T = 3.20
#  1.00    T = 1.40

第一部分显示了滞后：上行时在 h≈+0.42h \approx +0.42 跳上去，下行时在 h≈−0.42h \approx -0.42 跳下来。两个数比理论折点 0.385 略大，因为 hh 的变化有一定速度，系统来不及跟上；变化越慢，跳变越接近 0.385。滞后的含义是：系统处于哪个状态，不仅取决于现在的条件，还取决于它从哪里来。同样是 h=0h = 0，从左边来的系统停在旧状态，从右边来的系统停在新状态。

第二部分对应「半途而废」。外力撤掉时，如果状态还没越过山脊（这里是 x=0x = 0），系统就会滑回旧状态；越过了，系统就会自己滑进新状态。所需的最短时间强烈依赖于外力的大小：外力为 1.00 时只需 1.4 个时间单位；外力为 0.40、只比折点高一点时，需要 17 个时间单位以上。这是折点附近的临界慢化：残留的「瓶颈」使系统在旧状态的位置附近徘徊很久，才最终通过 (Strogatz 2015)。

两点需要修正最初的说法。第一，滑回并不是「瞬间」的，它需要一段弛豫时间。第二，越过山脊之后系统会「自然滑入」新状态，这在地形不变的模型中成立；如果外部条件随后又变回去、使新状态消失，系统仍会跳回。

滞后作为棘轮

滞后对改变习惯有一个有用的含义。设想 hh 代表一个由练习慢慢积累的条件（技能、环境安排、身边的人）。要从旧状态跳到新状态，条件必须积累到超过 +hc+h_c；但跳过去以后，即使条件回落到零，甚至回落到 −hc-h_c 附近，系统仍停在新状态。维持所需的条件弱于转换所需的条件。这就像一个棘轮：已经取得的进展，不会因为条件的小幅回落而丢失。

同一个机制也解释了为什么旧习惯难改：当初养成它的条件早已不在，它仍然留着。

证据

在真实生活的习惯研究中，偶尔漏掉一次并没有实质性地影响习惯形成的过程：在莱利等人的研究中，错过一次执行机会对自动化曲线的影响很小 (Lally et al. 2010)。这与滞后模型一致：一次小的扰动不足以把系统推回山脊另一侧。但该研究也发现，个体之间差异很大，这提醒我们不要从一条模型曲线推断任何个人需要多少天。

临界点之前的预警信号

证据

在生态、气候和医学的许多系统中，系统接近折点时恢复速度变慢（临界慢化），于是状态的波动变大、相邻时刻之间的自相关上升；谢弗等人把这些归纳为临界转变的「早期预警信号」，并指出它们在一些系统中可以检测到，但也会出现漏报和误报 (Scheffer et al. 2009)。

假说 · 尚未验证

尚未确立。 如果一个人的日常行为记录（例如每日学习分钟数）可以用双稳态模型描述，那么在一个旧习惯被稳定替代之前的几周里，每日记录的方差与一阶自相关应当上升。可以检验的方法是：收集至少 60 名学习者连续 90 天的日志，比较最终稳定转变者在转变前 4 周与更早 4 周的方差和自相关。如果转变者与未转变者在这两项指标的变化上没有差别，这一预测就被推翻。

类比的限度

尖点模型只有一个状态变量和一个控制参数。人的行为同时受很多因素影响，而且控制参数（hh）本身往往会对状态作出反应：一个人开始运动后，身体状况、社交圈、自我认同都会改变，这些又反过来改变 hh。这种反馈可能让新状态比模型中更稳固，也可能更脆弱。还有一个限度：在模型中，跳变是确定性的；在人身上，跳变往往伴随着第三章所说的随机越垒，提前或推后发生。

本章小结

双稳态系统有记忆：同样的条件下，它停在哪里取决于它从哪里来。这解释了两件事：中途放弃会滑回旧状态，而一旦越过山脊，新状态会自己维持下去，即使条件有所回落。折点附近的临界慢化说明，刚刚够大的推力需要很长时间才见效。第五章把视线从一个人转向人群：别人能否充当把系统推过山脊、并且防止它滑回的力量。

参考文献

Lally, Phillippa, Cornelia H. M. van Jaarsveld, Henry W. W. Potts, and Jane Wardle. 2010. “How Are Habits Formed: Modelling Habit Formation in the Real World.” European Journal of Social Psychology 40 (6): 998–1009.
Scheffer, Marten, Jordi Bascompte, William A. Brock, et al. 2009. “Early-Warning Signals for Critical Transitions.” Nature 461: 53–59.
Strogatz, Steven H. 2015. Nonlinear Dynamics and Chaos. 2nd ed. Westview Press.

Fan, Y. (2026). Classical and Statistical Mechanics of Human Action: Psychological Inertia, Static Friction Thresholds, Kramers Escape Rate in Double-Well Potentials and Habit Phase Transitions, Read Beside East Asian Philosophy of Practice [行动的经典与统计力学] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23738774 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).