第一章石英与压电性

压力产生电压

1880 年，雅克·居里与皮埃尔·居里兄弟发现，石英、电气石、罗谢尔盐等晶体在受压时，相对的两个面上会出现符号相反的电荷 (Curie and Curie 1880)。这种效应被称为压电性（piezoelectricity，源自希腊语「挤压」）。一年后，人们从热力学推出并证实了逆效应：对这些晶体施加电压，它们的形状会发生极微小的改变。

晶体能否具有压电性，取决于它的对称性。应力 $\sigma$ 产生的极化 $P$ 写作 $P_i = d_{ijk}\,\sigma_{jk}$ ，其中 $d$ 是由压电系数组成的三阶张量。如果晶体有对称中心，把所有坐标反向后晶体不变，三阶张量却变号，于是 $d$ 必须等于 $-d$ ，也就是 $d = 0$ (Nye 1985)。32 个晶类中有 21 个没有对称中心，其中除一个之外都允许压电性。

证据

α-石英是二氧化硅在 573 °C 以下稳定的形态，属于三方晶系 32 点群。它没有对称中心，具有压电性；主压电系数 $d_{11} \approx 2.3$ pC/N，即沿晶体 $x$ 轴每施加 1 牛顿的力，大约分离出 2.3 皮库仑的电荷 (IEEE 1988)。方解石是碳酸钙的常见形态，属于 $\bar{3}m$ 点群，有对称中心，因此块体方解石没有压电性 (Nye 1985)。32 点群不是极性晶类，所以石英与电气石（第二章）不同，没有热释电性。

推导

沿 $x$ 轴用 10 N 的力挤压一块边长 1 cm 的石英立方体，这大约相当于手里拎着 1 公斤的东西。电荷 $Q = d_{11}F$ ；立方体是一个小电容 $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/t$ ，所以开路电压 $V = Q/C$ ，储存的能量为 $Q^2/2C$ 。

# Squeeze a 1 cm quartz cube along its x axis (the d11 direction).
eps0 = 8.854e-12                 # F/m
d11 = 2.31e-12                   # C/N, α-quartz
eps_r = 4.5                      # relative permittivity of quartz along x
side = 0.01                      # m
F = 10.0                         # N, about the weight of 1 kg held in the hand

Q = d11 * F                      # charge on the faces
C = eps0 * eps_r * side**2 / side
V = Q / C
E = Q**2 / (2 * C)
print(f"charge {Q * 1e12:.1f} pC, capacitance {C * 1e12:.2f} pF")
print(f"open-circuit voltage {V:.0f} V, stored energy {E * 1e9:.2f} nJ")

# The charge appears only while the force changes. Squeezing and
# releasing once a second converts at most 2 E per second.
P = 2 * E
print(f"one squeeze per second: {P * 1e9:.1f} nW, "
      f"{P / 100:.0e} of a resting body's ~100 W")

# Calcite (point group -3m) is centrosymmetric: every d_ijk is zero.
print("calcite cube, same force: 0 pC")
# charge 23.1 pC, capacitance 0.40 pF
# open-circuit voltage 58 V, stored energy 0.67 nJ
# one squeeze per second: 1.3 nW, 1e-11 of a resting body's ~100 W
# calcite cube, same force: 0 pC

五十八伏听起来很大，但它是一个不到半皮法的电容上的电压，储存的能量不到一纳焦。电荷只在力变化的时候出现：稳稳握住的晶体不会再产生电荷，而在手中，这点电荷很快就会通过导电的湿润皮肤中和掉。即使每秒挤压、松开一次，转换的功率也只有约一纳瓦，是人体静息功率的一千亿分之一。同样拿在手里的方解石则什么也不产生。

石英谐振器

真正让石英有用的是逆效应。在一片薄石英片的电极上加交变电压，石英片就会振动；在机械共振附近，石英片的运动会强烈地反馈到电路中。由于石英每个周期损耗的能量极少，共振极其尖锐，用它做成的振荡器一个月只差几秒。石英表里的音叉晶体每秒振动 32,768 次，即 $2^{15}$ 次，连续二分频十五次就得到每秒一次的走时。

在共振附近，石英晶体的行为就像一个简单电路，即巴特沃斯–范戴克（Butterworth–Van Dyke）模型：由电阻 $R_1$ 、电感 $L_1$ 、电容 $C_1$ 串联而成的「动态」支路，代表振动片的质量、刚度和损耗，再与电极电容 $C_0$ 并联 (Van Dyke 1928)。

推导

一个典型的 10 MHz AT 切石英谐振器。串联谐振频率 $f_s = 1/(2\pi\sqrt{L_1C_1})$ ；并联谐振频率 $f_p = f_s\sqrt{1 + C_1/C_0}$ ；品质因数 $Q = 2\pi f_s L_1/R_1$ 。

import math

# Butterworth–Van Dyke model of a 10 MHz AT-cut quartz resonator:
# a series R1-L1-C1 "motional" arm in parallel with the electrode capacitance C0.
R1, L1, C1, C0 = 10.0, 12.7e-3, 20e-15, 5e-12      # Ω, H, F, F (typical values)

fs = 1 / (2 * math.pi * math.sqrt(L1 * C1))         # series resonance
fp = fs * math.sqrt(1 + C1 / C0)                    # parallel (anti-)resonance
Q = 2 * math.pi * fs * L1 / R1
print(f"series resonance   fs = {fs / 1e6:.4f} MHz")
print(f"parallel resonance fp = {fp / 1e6:.4f} MHz  (fp − fs = {(fp - fs) / 1e3:.1f} kHz)")
print(f"quality factor     Q  = {Q:.1e}")
print(f"bandwidth fs/Q        = {fs / Q:.0f} Hz")

# Ring-down: after the drive stops, the stored energy decays as exp(−2π f t / Q).
tau = Q / (math.pi * fs)                            # amplitude time constant
print(f"amplitude decays to 1/e in {tau * 1e3:.2f} ms ≈ {tau * fs:.0f} cycles")
# series resonance   fs = 9.9863 MHz
# parallel resonance fp = 10.0062 MHz  (fp − fs = 20.0 kHz)
# quality factor     Q  = 8.0e+04
# bandwidth fs/Q        = 125 Hz
# amplitude decays to 1/e in 2.54 ms ≈ 25365 cycles

巴特沃斯–范戴克模型在 10 MHz 附近的阻抗。在串联谐振频率 f_s 处，晶体阻抗降到约 10 Ω；高出 20 kHz 的并联谐振频率 f_p 处，阻抗升到约一兆欧。 — 巴特沃斯–范戴克模型在 10 MHz 附近的阻抗。在串联谐振频率 $f_s$ 处，晶体阻抗降到约 10 Ω；高出 20 kHz 的并联谐振频率 $f_p$ 处，阻抗升到约一兆欧。

品质因数达到 80,000，意味着在 10 MHz 处共振宽度只有约 125 Hz；撤去驱动后，振动还会持续约 25,000 个周期。石英谐振器的品质因数可达 $10^4$ 到 $10^6$ ，所以几乎每一台时钟、电脑和手机都以它为时基。

握在手中的晶体做不到什么

这些物理知识都不支持「握着或佩戴石英会影响人体电活动」的说法。静静躺在手中的晶体并没有被驱动到共振；一块手掌大小的石头，其共振频率在几十到几百千赫，需要电极和放大器才能维持。没有变化的力，就没有压电电荷；即使有，也微小、短暂，并被皮肤短路。人体自身的电信号，例如每个神经细胞膜上约 −70 mV 的电位，或心脏在皮肤表面产生的毫伏级信号，是由新陈代谢驱动的离子泵和离子通道产生的，被动的晶体与它们之间没有任何耦合途径。

证据

没有任何对照研究显示握持或佩戴晶体有治疗效果。在一项双盲实验中（2001 年在英国心理学会的会议上报告），80 名志愿者放松五分钟，期间手握真石英晶体或玻璃仿制品；报告刺痛、温热等感觉的比例，用仿制品的和用真晶体的大致相当，并且在超自然信念问卷得分较高的参与者中更常见 (French 2021)。会议报告的证据强度不如经同行评审的论文，但也没有任何对照研究得出相反的结论。

假说 · 尚未验证

尚未确立。 握持晶体时报告的感觉来自期望和注意，而不是来自矿物本身的任何性质。该假说预测：在一项双盲测试中，参与者和递交石头的人都不知道手中是石英，还是形状、重量相同的玻璃，那么报告有感觉的比例在石英与玻璃之间没有差别。如果在一项预注册的盲法测试中，真石英稳定地比仿制品更常引起感觉报告，假说就被推翻。

注

石英珍贵、美丽，它的物理也确实非凡。这些都不需要它能治愈什么，本书也不作这样的声称。

参考文献

Curie, Jacques, and Pierre Curie. 1880. “Développement, Par Compression, de l’électricité Polaire Dans Les Cristaux Hémièdres à Faces Inclinées.” Comptes Rendus de l’Académie Des Sciences 91: 294–95.

French, Chris. 2021. Romance in the Stones? The Power of Crystals Vs the Power of Suggestion. The Skeptic, 21 April 2021.

IEEE. 1988. IEEE Standard on Piezoelectricity. ANSI/IEEE Std 176-1987; Institute of Electrical; Electronics Engineers.

Nye, J. F. 1985. Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Clarendon Press.

Van Dyke, K. S. 1928. “The Piezo-Electric Resonator and Its Equivalent Network.” Proceedings of the Institute of Radio Engineers 16 (6): 742–64.

Fan, Y. (2026). Crystal Piezoelectricity, Iron-Nickel Meteorites and Photobiomodulation: Alpha-Quartz, Tourmaline Pyroelectricity, Widmanstätten Diffusion and Near-Infrared Cytochrome c Oxidase in Solid-State Physics and Biophotonics [晶体压电性、铁镍陨石与光生物调节] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23698498 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).

第一章 石英与压电性

第一章 石英与压电性

压力产生电压

石英谐振器

握在手中的晶体做不到什么

参考文献

第一章石英与压电性

第一章石英与压电性