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第三章 阿什比必要多样性定律

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第三章 阿什比必要多样性定律

唯有多样性才能消灭多样性

精神科医生、控制论学者 W. 罗斯·阿什比（W. Ross Ashby）在《控制论导论》（1956）中提出了他所说的必要多样性定律。一个调节器必须在外来扰动下把系统的结果保持在可接受的范围内。阿什比证明，结果的多样性不可能低于扰动的多样性减去调节器反应的多样性：「唯有多样性才能消灭多样性」(Ashby 1956)。用信息论的语言表述：

H(E)≥H(D)−H(R),H(E) \ge H(D) – H(R),

其中 DD 是扰动，RR 是调节器的反应，EE 是结果。可区分的反应少于可区分的扰动的调节器，无法把结果固定住。

证据

科南特（Conant）和阿什比后来证明了一个相关定理：一个系统的每一个好的调节器，都必须是该系统的一个模型，即最简单的最优调节器把系统的状态映射到它自己的状态上 (Conant and Ashby 1970)。

推导

一个有 64 个等可能取值的扰动，以及拥有 1 到 64 种可能反应的调节器。程序为每种情况找出最好的调节器，并把结果的熵与阿什比的界限比较。

import math
from collections import Counter

# Ashby's law of requisite variety, in its simplest form.
# Disturbances D take n_d equally likely values; the regulator R chooses one of n_r responses
# after seeing D; the outcome is E = (D − R) mod n_d. The goal is to keep E at 0.
def best_outcome_entropy(n_d, n_r):
    # the best regulator maps each disturbance to the response that cancels it as far as possible
    outcomes = Counter()
    for d in range(n_d):
        r = d % n_r                       # the response that brings E closest to 0
        outcomes[(d - r) % n_d] += 1
    return -sum(c / n_d * math.log2(c / n_d) for c in outcomes.values())

n_d = 64
print(f"disturbance variety: {n_d} states = {math.log2(n_d):.0f} bits")
for n_r in (1, 4, 8, 16, 32, 64):
    he = abs(best_outcome_entropy(n_d, n_r))
    bound = max(0.0, math.log2(n_d) - math.log2(n_r))
    print(f"regulator with {n_r:2d} responses ({math.log2(n_r):.0f} bits): "
          f"best H(E) = {he:.0f} bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = {bound:.0f} bits")
# disturbance variety: 64 states = 6 bits
# regulator with  1 responses (0 bits): best H(E) = 6 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 6 bits
# regulator with  4 responses (2 bits): best H(E) = 4 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 4 bits
# regulator with  8 responses (3 bits): best H(E) = 3 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 3 bits
# regulator with 16 responses (4 bits): best H(E) = 2 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 2 bits
# regulator with 32 responses (5 bits): best H(E) = 1 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 1 bits
# regulator with 64 responses (6 bits): best H(E) = 0 bits, Ashby's bound H(D) − H(R) = 0 bits

调节器少一比特多样性，结果中就多出一比特多样性。

使用者作为调节器

把这条定律用于一个使用语言模型的人，需要想清楚谁扮演什么角色。模型是候选答案的生成器，许多答案正确，有些错误。使用者的任务，是把自己接受、发表或据以行动的东西保持在范围内：让正确的答案通过，挡住错误的答案。对这个任务来说，「扰动」是答案可能出错的各种方式，使用者的「反应」是他能作出的区分：哪些说法他能识别为错误，哪些计算他能核对，哪些来源他能找到。

推导

一个核实模型：生成器在二十个领域中产生说法，其中 15% 是错的。使用者只有在自己熟悉的领域里才能可靠地发现错误；独立的来源核查能在其他领域发现一部分错误。

import random

# A model of verification. A generator produces 10,000 claims across 20 fields;
# 15 % are wrong. The operator catches a wrong claim only in fields they can check,
# with probability 0.9 there; a source check (looking each claim up) adds a chance
# to catch errors in other fields.
random.seed(2)
claims = [(random.randrange(20), random.random() < 0.15) for _ in range(10000)]

def accepted_error_rate(known_fields, lookup=0.0):
    accepted, wrong = 0, 0
    for field, is_wrong in claims:
        caught = is_wrong and ((field < known_fields and random.random() < 0.9)
                               or random.random() < lookup)
        if not caught:
            accepted += 1
            wrong += is_wrong
    return wrong / accepted

for k in (1, 5, 10, 20):
    print(f"operator can check {k:2d} of 20 fields: errors among accepted claims "
          f"{accepted_error_rate(k):5.1%} | with independent source checks (50 %) "
          f"{accepted_error_rate(k, 0.5):5.1%}")
# operator can check  1 of 20 fields: errors among accepted claims 14.5% | with independent source checks (50 %)  7.7%
# operator can check  5 of 20 fields: errors among accepted claims 12.0% | with independent source checks (50 %)  6.2%
# operator can check 10 of 20 fields: errors among accepted claims  8.8% | with independent source checks (50 %)  4.6%
# operator can check 20 of 20 fields: errors among accepted claims  1.8% | with independent source checks (50 %)  0.8%

只能核对二十个领域中一个的使用者，接受的错误率几乎就是生成器的错误率；能核对全部二十个领域的使用者，接受的错误很少。独立的来源核查，例如查证说法、运行代码、请教专家，在每个水平上都把错误大约减半。工具是调节器的一部分：重要的是整个核查系统的多样性，而不只是个人记忆的多样性。

注

阿什比定律是关于调节的定理，核实模型是建立在它之上的类比，而不是它的推论。这个模型也做了简化：错误并不是均匀分布在各领域的，熟悉一个领域的使用者仍可能漏掉细微的错误。经过这些简化仍然成立的结论是：未经核实的输出，继承了生成器的错误率。

假说 · 尚未验证

尚未确立。 一个人能从语言模型中可靠提取的知识的质量，主要受限于他连同他的工具能核查说法的领域范围，而不是模型的能力。该假说预测：在用同一个模型完成同一项多领域研究任务时，最终被接受的输出中的错误率，随使用者在相关领域中已证明的能力数量增加而下降，并在要求独立核查时进一步下降。如果在一项同时测量两者的研究中，在模型和任务固定的情况下，错误率与使用者的核查范围无关，假说就被推翻。

参考文献

Ashby, W. Ross. 1956. An Introduction to Cybernetics. Chapman & Hall.
Conant, Roger C., and W. Ross Ashby. 1970. “Every Good Regulator of a System Must Be a Model of That System.” International Journal of Systems Science 1 (2): 89–97.

Fan, Y. (2026). The Algorithmic Mirror: Self-Attention Geometry, Ashby's Requisite Variety and Cognitive Projection in Information Theory and East Asian Philosophy of Mind [算法之镜] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23723557 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).