5D Library › 嗓音生物力学、非线性源-滤波耦合与听觉-运动反馈的数学模型 · English
第一章 声带为什么能自己振动：相位差与起振阈压
从第 10 本接着讲
第 10 本第一章讲过肌弹性—空气动力学理论：肌肉设定声带的位置、长度与张力，每一次开合却是气流与弹性组织共同维持的自持振荡 (Berg 1958)，「伯努利吸力」本身不能维持振动。本章追问下一步：究竟是什么让空气在每个周期里对组织做了净的正功？ 提策（Titze）1988 年的小振幅理论给出了答案，并由此推出起振阈压的公式 (Titze 1988)。
对称形状为什么得不到能量
证据
提策把声带覆盖层看成一个能传播表面波的薄层：声带下缘先向外张，上缘随后跟上，于是声门的形状在一个周期内不断变化。理论的核心结论是，如果声门的形状在整个周期中保持不变（无论是平直、收敛还是发散），气流对组织的净功为零；只有当声门上下缘的运动存在相位差、使声门在张开时偏收敛、闭合时偏发散时，空气才能在每个周期向组织输入净能量。理论还预测：降低黏膜波速度、使声带更靠拢、减小声门收敛角，都会降低起振阈压；声道的惯性抗会降低阈压，声道的阻力则会提高阈压 (Titze 1988, 1994)。最后一点是第二章的主题。
把这个结论算出来并不难。设声门入口（下缘）和出口（上缘）的半面积都以同样的幅度做正弦运动，上缘落后下缘一个相位 。按提策的公式，声门内的平均压力是 （声门上方的压力取为零），它作用在声带内侧面上；把它对内侧面的平均位移积分一个周期，就是气流对组织做的净功。
推导
# Net aerodynamic work per cycle on the folds in a surface-wave glottis (after Titze
# 1988). Entry (lower) and exit (upper) half-areas move sinusoidally; the exit lags by
# phi:
# a1 = a0 + A sin(wt), a2 = a0 + A sin(wt - phi)
# Mean intraglottal pressure (supraglottal pressure taken as zero): Pg = Ps (1 - a2 / a1).
# Work per cycle W = integral of Pg dx, x = (a1 + a2)/2 the mean medial-surface
# displacement. All values illustrative.
import math
PS = 800.0 # Pa, subglottal pressure (about 8 cm H2O)
A0, AMP = 1.0, 0.4 # mean and amplitude of the half-areas (arbitrary units)
def work_per_cycle(phi, n=4000, tilt=0.0):
# tilt > 0 gives a fixed convergent prephonatory shape (entry wider than exit)
w, dt = 0.0, 2 * math.pi / n
for i in range(n):
t = i * dt
a1 = A0 + tilt + AMP * math.sin(t)
a2 = A0 - tilt + AMP * math.sin(t - phi)
pg = PS * (1 - a2 / a1)
dx = AMP * (math.cos(t) + math.cos(t - phi)) / 2 * dt # dx/dt * dt
w += pg * dx
return w
print("phase lag of upper edge | net work per cycle (Pa x area units)")
for deg in (0, 15, 30, 60, 90, 120):
print(f" {deg:4d} deg | {work_per_cycle(math.radians(deg)):+8.1f}")
print(f" -30 deg (upper leads) | {work_per_cycle(math.radians(-30)):+8.1f}"
" energy flows from tissue to air")
print(f"fixed convergent shape (entry 1.2, exit 0.8), no lag: "
f"{work_per_cycle(0.0, tilt=0.2):+.1f} (no net work)")
best = max(range(0, 181, 5), key=lambda d: work_per_cycle(math.radians(d), 1000))
print(f"largest energy transfer in this sketch at a lag of about {best} deg")
# phase lag of upper edge | net work per cycle (Pa x area units)
# 0 deg | +0.0
# 15 deg | +108.8
# 30 deg | +211.1
# 60 deg | +371.7
# 90 deg | +438.8
# 120 deg | +388.2
# -30 deg (upper leads) | -211.1 energy flows from tissue to air
# fixed convergent shape (entry 1.2, exit 0.8), no lag: +0.0 (no net work)
# largest energy transfer in this sketch at a lag of about 90 deg结果有三点值得注意。第一，相位差为零时净功严格为零；即使声门有一个固定的收敛形状（入口 1.2、出口 0.8），只要上下缘同步运动，净功仍然是零。这正是「对称或静止的形状得不到能量」的含义：压力只是位移的函数，沿闭合路径积分必然为零。第二，上缘落后时净功为正，在这个示意模型里落后约 90° 时最大；上缘领先时净功为负，能量从组织流回空气，相当于额外的阻尼。第三，伯努利效应并没有消失——声门内的压力确实随形状改变——但决定能量方向的是形状变化与运动之间的时间关系。
起振阈压：按原文核对公式
使振动刚好能够维持的最小声门下压，称为起振阈压（phonation threshold pressure）。在提策的理论中，它是气流输入的「负阻尼」恰好抵消组织阻尼时的压力。
证据
提策 1988 年导出的一般式，按 Zhang 2010 与 Fulcher & Scherer 2011 的转述为
其中 是跨声门压力系数（约 1.1）， 是声带内侧面单位面积的组织阻尼， 是黏膜波速度， 是内侧面的厚度（上下方向），、 分别是起振前声门下缘（入口）与上缘（出口）的半宽 (Zhang 2010; Fulcher and Scherer 2011)。对矩形声门，，上式化为
这就是第 10 本使用的形式 (Titze 1988)。若把阻尼写成总阻尼而不是单位面积阻尼，分母中还会出现声门长度与厚度（Fulcher & Scherer 的写法），两种写法等价。
框架中写的 把一般式中的系数 2 保留了下来，却把 直接换成了 ；对矩形声门，这会把阈压高估整整一倍。下面的程序用同一组示意参数比较两种写法，并看声门形状与组织参数的影响。
推导
# Phonation threshold pressure in Titze's (1988) small-amplitude surface-wave theory.
# General form (as reproduced by Zhang 2010; Fulcher & Scherer 2011):
# Pth = 2 kt B c xi01^2 / [T (xi01 + xi02)]
# kt transglottal pressure coefficient (~1.1); B damping per unit medial area (N s/m^3); c
# mucosal-wave speed (m/s); T medial-surface thickness (m); xi01, xi02 prephonatory
# half-widths at entry (lower) and exit (upper). Rectangular glottis: Pth = kt B c xi0 /
# T. Parameter values illustrative, chosen to give about 3 cm H2O at baseline.
KT, B, C, T = 1.1, 800.0, 1.0, 0.003
PA_PER_CMH2O = 98.07
def pth(xi01, xi02, b=B, c=C, t=T, kt=KT):
return 2 * kt * b * c * xi01 ** 2 / (t * (xi01 + xi02))
xi0 = 0.001 # 1 mm
p_rect = pth(xi0, xi0)
p_short = KT * B * C * xi0 / T # rectangular special case
p_author = 2 * KT * B * C * xi0 / T # the outline's "2 kt B c xi0 / T"
print(f"rectangular glottis, general formula : {p_rect:6.1f} Pa"
f" = {p_rect / PA_PER_CMH2O:4.2f} cm H2O")
print(f"rectangular glottis, kt B c xi0 / T : {p_short:6.1f} Pa (identical)")
print(f"'2 kt B c xi0 / T' would give : {p_author:6.1f} Pa (twice too high)")
print("shape at the same mean half-width of 1 mm (entry / exit, mm):")
for e, x in ((1.0, 1.0), (1.2, 0.8), (1.4, 0.6), (0.9, 1.1)):
p = pth(e / 1000, x / 1000)
print(f" {e:.1f} / {x:.1f} Pth = {p / PA_PER_CMH2O:4.2f} cm H2O"
f" ({p / p_rect:4.2f} x rectangular)")
print("one factor at a time from the rectangular baseline (illustrative multipliers):")
cases = (("tissue damping B x 0.85 (better hydrated?)", {"b": 0.85 * B}),
("tissue damping B x 1.25 (drier?)", {"b": 1.25 * B}),
("mucosal wave 1.3 x faster (stiffer cover)", {"c": 1.3 * C}),
("thinner medial surface, T x 0.7", {"t": 0.7 * T}))
for name, kw in cases:
p = pth(xi0, xi0, **kw)
print(f" {name:43s} {p / PA_PER_CMH2O:4.2f} cm H2O ({p / p_rect - 1:+.0%})")
# rectangular glottis, general formula : 293.3 Pa = 2.99 cm H2O
# rectangular glottis, kt B c xi0 / T : 293.3 Pa (identical)
# '2 kt B c xi0 / T' would give : 586.7 Pa (twice too high)
# shape at the same mean half-width of 1 mm (entry / exit, mm):
# 1.0 / 1.0 Pth = 2.99 cm H2O (1.00 x rectangular)
# 1.2 / 0.8 Pth = 4.31 cm H2O (1.44 x rectangular)
# 1.4 / 0.6 Pth = 5.86 cm H2O (1.96 x rectangular)
# 0.9 / 1.1 Pth = 2.42 cm H2O (0.81 x rectangular)
# one factor at a time from the rectangular baseline (illustrative multipliers):
# tissue damping B x 0.85 (better hydrated?) 2.54 cm H2O (-15%)
# tissue damping B x 1.25 (drier?) 3.74 cm H2O (+25%)
# mucosal wave 1.3 x faster (stiffer cover) 3.89 cm H2O (+30%)
# thinner medial surface, T x 0.7 4.27 cm H2O (+43%)基线参数（、 N·s/m³、 m/s、 mm、 mm）给出约 293 Pa，即约 3.0 cm H2O，与第 10 本所用的基线相同。一般式在矩形声门下与简化式完全相同；「」则给出 587 Pa。
形状的影响与提策的预测一致：平均半宽保持 1 mm 不变，入口 1.2、出口 0.8 mm 的收敛声门使阈压升到 1.44 倍，1.4/0.6 mm 时升到 1.96 倍；略呈发散（0.9/1.1 mm）时降到 0.81 倍。不过要注意，这是小振幅理论在起振前形状上的推论：明显发散的声门在真实气流中会出现气流分离位置的变化，小振幅公式不一定再适用，不能据此推论「发散越大越好起振」。
组织参数方面，阻尼增加 25% 使阈压升高 25%，降低 15% 使之降低 15%（阈压与 成正比）；黏膜波速度加快 30%（覆盖层变硬）使阈压升高 30%；内侧面变薄到 0.7 倍使阈压升高 43%——这与高音区阈压更高的经验方向一致（拉长的声带内侧面更薄）。
「水化降低黏度」：证据写准确
声乐教学中常说「多喝水，声带更润，起音更轻松」。这句话背后有真实的研究，但证据的形式需要说清楚。
证据
离体实验。 芬克尔霍尔、提策与达勒姆用离体犬喉，把声带暴露在不同渗透压的溶液中，使组织吸水或失水；他们假定水化改变的是组织内部黏度，并测量起振阈压：水化降低（黏度推定升高）时阈压升高，水化升高时阈压降低，与理论预测一致 (Finkelhor et al. 1988)。人体实验。 韦尔多利尼—马斯顿、提策与德鲁克让 6 名成人在不处理、水化和轻度脱水三种条件下尽量轻声地发声：水化条件下阈压最低，降低主要出现在高音；干燥条件下阈压最高，升高主要出现在低音；中间（说话）音高的阈压不受水化影响 (Verdolini-Marston et al. 1990)。韦尔多利尼、提策与芬内尔随后用双盲、安慰剂对照的设计对 12 名未受训练的成人重复了这一方向：水化程度与发声费力（阈压和自评费力）呈反向关系，但主要见于高音任务；作者也指出，组织黏度缺乏直接测量 (Verdolini et al. 1994)。一篇系统综述认为，全身性脱水（禁食、限水）与经口呼吸造成的表面干燥会使多项声学指标变差，雾化吸入等渗盐水的研究显示起振阈压降低 (Alves et al. 2019)。
因此本书的写法是：水化状态会影响起振的难易，这种影响在高音处最明显，研究者用组织黏度来解释它，但在人身上并没有直接测得黏度的变化。程序中「阻尼 × 0.85」或「× 1.25」只是示意：真实的水化变化对应多大的 变化，目前没有可靠的数字。书中也不给任何饮水量、雾化剂量或药物建议；嗓音问题请咨询医生。
假说 · 尚未验证
高音起振假说（尚未确立）。对受过训练的歌者，在同一天内，经过一段时间的表面干燥（例如在低湿度环境中经口呼吸）后，高音（例如 C5）处可维持的最轻持续音的声压级会比干燥前升高，而中音处的变化较小。可以检验的预测：在歌者自身对照的随机交叉研究中，高音最轻音声压级的升高显著大于中音。如果高音与中音的变化没有差别，或者都在测量误差之内，这一假说就需要放弃。（第八章核查表第一步用的就是这种粗略测量；它受麦克风距离与房间影响，不能代替实验室的阈压测量，也不能用于诊断。）
本章小结
声带自激振荡的能量来自上下缘之间的相位差：它使声门在张开时偏收敛、闭合时偏发散，让压力「在恰当的时刻推」；任何静止或同步运动的形状都得不到净能量。按提策 1988 年的一般式核对，起振阈压为 ，矩形声门时化为 ，与第 10 本一致，框架中的 会高估一倍。阈压随阻尼、黏膜波速度、收敛程度增加而升高，随内侧面变厚而降低。水化影响起振难易的证据来自离体犬喉与小样本的人体实验，主要见于高音，组织黏度是解释而不是直接测量。下一章看理论中的最后一项：声道如何反过来改变阈压。
参考文献
Fan, Y. (2026). Vocal Biomechanics, Non-Linear Source-Filter Coupling and Auditory-Motor Feedback: From Titze's Self-Sustained Vocal Fold Oscillation and Vocal-Tract Inertance to the Lombard Effect, Read Beside Classical Chinese Vocal Aesthetics [嗓音生物力学、非线性源-滤波耦合与听觉-运动反馈的数学模型] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23770084 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).