5D Library

第二章 几何布朗运动、伊藤引理与波动率税

5D Library › 非遍历性财富动力学、凯利准则与波动率税 · English

第二章 几何布朗运动、伊藤引理与波动率税

连续时间里的乘性增长

抛硬币游戏是离散的。把它推到连续时间，最常用的模型是几何布朗运动：

dSt=μStdt+σStdWtdS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

其中 μ 是每年的期望收益率（漂移），σ 是波动率，Wt 是标准布朗运动。这个模型说的是：每一个极短的时间里，价格的百分比变化有一个确定的部分 μ dt 和一个随机的部分 σ dWt。它是布莱克–斯科尔斯期权定价与默顿连续时间投资组合理论的基础 (Merton 1969)，也是一个刻意简化的模型：真实价格有跳跃、有波动率聚集、有肥尾（第六章）。

伊藤引理

我们关心的是财富的对数，因为（第一章）对数增长率才是遍历的。对一个随机过程取函数时，普通微积分的链式法则要加一项修正，这就是伊藤引理 (Itô 1944)。对 f(S) = ln S：

dln⁡St=dStSt−12(dSt)2St2=(μ−12σ2)dt+σdWtd\ln S_t = \frac{dS_t}{S_t} – \frac{1}{2}\frac{(dS_t)^2}{S_t^2} = \left(\mu – \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)dt + \sigma\,dW_t

多出来的 −σ2/2 来自布朗运动的一个特性：(dWt)2 不是可以忽略的高阶小量，而等于 dt。直观地说，价格先涨 10% 再跌 10%，结果是 1.1 × 0.9 = 0.99，少了 1%：上下波动本身就会侵蚀复利。

于是 ln ST 服从正态分布，均值为 (μ − σ2/2)T，方差为 σ2T。由此得到两个不同的增长率：

  • 期望财富 E[ST] = S0 eμT，以速率 μ 增长；
  • 中位数财富（以及几乎每一条路径的长期增长）以速率 g = μ − σ2/2 增长。

二者之差 σ2/2 常被称为波动率拖累或「波动率税」。

推导

期望收益率固定为每年 8%，比较不同波动率下 30 年后的均值与中位数；最后用五个年度收益验证「几何平均 ≈ 算术平均 − 方差/2」。

# Geometric Brownian motion dS = mu S dt + sigma S dW. Ito's lemma gives
#   d ln S = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dW,
# so the MEAN of S grows at rate mu but the MEDIAN (and, in the long run, almost every
# single path) grows at g = mu - sigma^2/2. Simulated with exact log-normal steps, one a
# year (the log-normal step is exact, so finer steps would give the same distribution).
import math, random, statistics

def simulate(mu, sigma, years=30, paths=20000, seed=7):
    random.seed(seed)
    a, b = mu - 0.5 * sigma ** 2, sigma
    return [math.exp(sum(a + b * random.gauss(0, 1) for _ in range(years)))
            for _ in range(paths)]

mu = 0.08
print(f"mu = {mu:.0%} a year, 30 years; multiples of the starting wealth")
print(f"{'sigma':>5} {'g':>7} {'exp(mu T)':>9} {'sim mean':>9} {'exp(g T)':>9}"
      f" {'sim median':>10} {'P(end<start)':>13}")
for sigma in (0.10, 0.20, 0.30, 0.40):
    w = simulate(mu, sigma)
    g = round(mu - 0.5 * sigma ** 2, 9) + 0.0      # round away a -1e-17
    print(f"{sigma:5.2f} {g:+7.3f} {math.exp(mu * 30):9.1f} {statistics.fmean(w):9.1f}"
          f" {math.exp(g * 30):9.2f} {statistics.median(w):10.2f}"
          f" {sum(x < 1 for x in w) / len(w):13.1%}")
# The same identity for discrete yearly returns: geometric mean ~ arithmetic - variance/2.
rets = [0.30, -0.20, 0.25, -0.15, 0.10]
am = statistics.fmean(rets)
gm = math.prod(1 + r for r in rets) ** (1 / len(rets)) - 1
print(f"\nyearly returns {rets}")
print(f"arithmetic mean {am:+.2%}, geometric mean {gm:+.2%},"
      f" approximation {am - statistics.pvariance(rets) / 2:+.2%}")
# mu = 8% a year, 30 years; multiples of the starting wealth
# sigma       g exp(mu T)  sim mean  exp(g T) sim median  P(end<start)
#  0.10  +0.075      11.0      11.0      9.49       9.52          0.0%
#  0.20  +0.060      11.0      11.0      6.05       6.09          4.9%
#  0.30  +0.035      11.0      11.0      2.86       2.89         26.1%
#  0.40  +0.000      11.0      10.9      1.00       1.01         49.6%
#
# yearly returns [0.3, -0.2, 0.25, -0.15, 0.1]
# arithmetic mean +6.00%, geometric mean +3.98%, approximation +3.93%

期望收益率相同（8%），波动率从 10% 升到 40%，30 年后的期望财富都是起点的 11 倍，中位数却从 9.5 倍降到 1 倍：σ = 40% 时 g = 0.08 − 0.08 = 0，一半的路径 30 年后低于起点。离散的年度收益也一样：五年的算术平均是 6%，几何平均只有约 4%，与「算术平均 − 方差/2」的近似相差不到 0.1 个百分点。

杠杆如何反噬复利

用杠杆 L 持有风险资产（L > 1 时按无风险利率 r 借入 L − 1 的资金，并连续地调整回 L 倍），组合仍然是一个几何布朗运动，漂移为 r + L(μ − r)，波动率为 Lσ。它的长期增长率是：

g(L)=r+L(μ−r)−12L2σ2g(L) = r + L(\mu – r) – \tfrac{1}{2}L^2\sigma^2

期望收益随 L 线性增加，波动率税却随 L 的平方增加。这条抛物线在 L* = (μ − r)/σ2 处达到最大，在 2L* 处回到无风险利率，再往上就低于无风险利率，最终变为负数。

推导

示意参数：μ = 7%，σ = 18%，r = 3%（不是对任何市场的估计）。比较不同杠杆下的增长率、20 年后的中位数财富，以及 20 年中至少一次从高点腰斩的概率（每周一步、2,000 条路径）。

# Leverage and volatility drag. Hold L times the risky asset (mu, sigma), borrowing L - 1
# at the risk-free rate r, and rebalance continuously. The portfolio is again a geometric
# Brownian motion with drift r + L (mu - r) and volatility L sigma, so its long-run
# growth rate is  g(L) = r + L (mu - r) - L^2 sigma^2 / 2.
# Illustrative parameters, not a forecast: mu = 7 %, sigma = 18 %, r = 3 %.
import math, random, statistics

mu, sigma, r = 0.07, 0.18, 0.03

def g(L):
    return r + L * (mu - r) - 0.5 * (L * sigma) ** 2

Lstar = (mu - r) / sigma ** 2
Lzero = ((mu - r) + math.sqrt((mu - r) ** 2 + 2 * r * sigma ** 2)) / sigma ** 2
print(f"growth-optimal leverage L* = (mu - r)/sigma^2 = {Lstar:.2f}")
print(f"growth back to the risk-free rate at 2 L* = {2 * Lstar:.2f}; zero at {Lzero:.2f}")
print(f"{'L':>5} {'mean return':>11} {'drag':>7} {'g(L)':>7} {'median, 20 y':>12}"
      f" {'P(halve from a peak)':>21}")
random.seed(3)
for L in (0.0, 0.5, 1.0, Lstar, 1.5, 2 * Lstar, 3.0):
    dt, n, paths = 1 / 52, 52 * 20, 2000          # weekly steps, 20 years
    a, b = g(L) * dt, L * sigma * math.sqrt(dt)
    finals, halved = [], 0
    for _ in range(paths):
        x = peak = 0.0
        hit = False
        for _ in range(n):
            x += a + b * random.gauss(0, 1)
            peak = max(peak, x)
            hit = hit or x - peak < -math.log(2)
        finals.append(math.exp(x)); halved += hit
    drag = 0.0 - 0.5 * (L * sigma) ** 2 + 0.0
    print(f"{L:5.2f} {r + L * (mu - r):+11.3f} {drag:+7.3f} {g(L):+7.3f}"
          f" {statistics.median(finals):12.2f} {halved / paths:21.0%}")
# A product that resets leverage DAILY follows the continuous model only approximately;
# and with discrete daily moves, one day's fall of 1/L wipes out an L-times position.
for L in (2, 3):
    print(f"L = {L}: a one-day fall of {100 / L:.0f} % in the underlying wipes out the"
          " position")
# growth-optimal leverage L* = (mu - r)/sigma^2 = 1.23
# growth back to the risk-free rate at 2 L* = 2.47; zero at 3.07
#     L mean return    drag    g(L) median, 20 y  P(halve from a peak)
#  0.00      +0.030  +0.000  +0.030         1.82                    0%
#  0.50      +0.050  -0.004  +0.046         2.52                    0%
#  1.00      +0.070  -0.016  +0.054         2.95                   34%
#  1.23      +0.079  -0.025  +0.055         2.93                   63%
#  1.50      +0.090  -0.036  +0.054         2.98                   86%
#  2.47      +0.129  -0.099  +0.030         1.69                  100%
#  3.00      +0.150  -0.146  +0.004         1.04                  100%
# L = 2: a one-day fall of 50 % in the underlying wipes out the position
# L = 3: a one-day fall of 33 % in the underlying wipes out the position
长期增长率 g(L)（蓝色）与期望收益率（金色虚线）随杠杆的变化。期望收益一直上升，长期增长率在凯利杠杆 L* 处最高，在 2L* 处回到无风险利率。

在这组参数下，使长期增长最大的杠杆约为 1.23 倍，增长率约 5.5%；3 倍杠杆的期望收益是 15%，长期增长率却只有 0.4%，20 年后的中位数财富几乎没有增长，而且每一条路径都至少经历过一次腰斩。即使在最优杠杆附近，20 年里至少一次从高点腰斩的概率也接近三分之二。

证据

每日重置的杠杆产品。 每天把杠杆重置到固定倍数的交易所交易产品，其长期表现取决于路径：在波动大而方向不明的市场里，即使标的资产回到原点，产品本身也会下跌。程–马达万与阿韦利亚内达–张推导出，这类产品的价值近似为标的价格的 L 次方乘以一个随累计方差衰减的因子 exp(−(L2 − L)σ2T/2)，再加上融资成本与费用 (Cheng and Madhavan 2009; Avellaneda and Zhang 2010)。这与上面的连续模型是同一个数学结构。

注

离散的跳跃。 连续模型假设价格不会跳跃。真实市场中，L 倍的仓位只要标的资产在两次调整之间下跌 1/L（2 倍杠杆下跌 50%，3 倍杠杆下跌约 33%），就会全部亏光；保证金账户还可能在此之前被强制平仓。所以真实世界中的杠杆比连续模型显示的更危险，而不是更安全。

本章小结

伊藤引理说明，在几何布朗运动中，期望财富以 μ 增长，而典型的路径以 μ − σ2/2 增长：波动本身就是一种税。杠杆让期望收益线性上升、让波动率税平方上升，长期增长率因此是杠杆的一条抛物线，存在一个最优点 L* = (μ − r)/σ2，超过 2L* 就不如完全不承担风险。下一章从这个最优点出发，讨论凯利准则以及在参数不确定时为什么应该下注得更少。

参考文献

Avellaneda, Marco, and Stanley Zhang. 2010. “Path-Dependence of Leveraged ETF Returns.” SIAM Journal on Financial Mathematics 1 (1): 586–603.
Cheng, Minder, and Ananth Madhavan. 2009. “The Dynamics of Leveraged and Inverse Exchange-Traded Funds.” Journal of Investment Management 7 (4): 43–62.
Itô, Kiyosi. 1944. “Stochastic Integral.” Proceedings of the Imperial Academy 20 (8): 519–24.
Merton, Robert C. 1969. “Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: The Continuous-Time Case.” Review of Economics and Statistics 51 (3): 247–57.

Fan, Y. (2026). Non-Ergodic Wealth Dynamics, the Kelly Criterion and Volatility Drag: From Itô's Lemma on Geometric Brownian Motion and Ruin Barriers to Barbell Portfolios, Read Beside the Shiji's 'Biographies of the Money-Makers' [非遍历性财富动力学、凯利准则与波动率税] (Version 1.0.0). 5D Library. https://doi.org/10.5281/zenodo.23754709 · Licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0).